Análisis de una función con logaritmos y Teorema de Bolzano

**a) Compruebe que $f(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[1, 1,5]$ y busque un intervalo de una décima de longitud que también contenga esta misma raíz.** Para demostrar que existe una raíz, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. Primero, observamos que $f(x)$ es continua en su dominio $x \in (0, +\infty)$ por ser suma y producto de funciones continuas (polinomios y logaritmo). Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo: - $f(1) = -2 + 10(1 - 1) \ln(1) = -2 + 0 = -2 \lt 0$. - $f(1,5) = -2 + 10(1,5 - 1) \ln(1,5) = -2 + 5 \ln(1,5) \approx -2 + 5(0,4055) = 0,0273 \gt 0$. Como $f(1) \lt 0$ y $f(1,5) \gt 0$, y la función es continua, por el Teorema de Bolzano existe al menos un valor $c \in (1, 1,5)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una raíz si la función es continua y toma signos opuestos en los extremos del intervalo.

Para encontrar un intervalo de longitud $0,1$, evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x = 1,4$: $$f(1,4) = -2 + 10(1,4 - 1) \ln(1,4) = -2 + 4 \ln(1,4) \approx -2 + 4(0,3365) = -2 + 1,346 = -0,654 \lt 0.$$ Como $f(1,4) \lt 0$ y $f(1,5) \gt 0$, el cambio de signo se produce en el intervalo de una décima de longitud: ✅ **Resultado (intervalo):** $$\boxed{[1,4, \, 1,5]}$$

**b) Sin calcular los puntos críticos, justifique que $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(0, 1)$ y creciente en $(1, +\infty)$. ¿Qué máximos y mínimos tiene esta función?** Calculamos la derivada de $f(x) = -2 + 10(x - 1) \ln x$ usando la regla del producto: $$f'(x) = 10 \left[ 1 \cdot \ln x + (x - 1) \cdot \frac{1}{x} \right] = 10 \left( \ln x + 1 - \frac{1}{x} \right).$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos dados: 1. **En el intervalo $(0, 1)$:** - $\ln x \lt 0$ (ya que el logaritmo de números menores que 1 es negativo). - Si $x \lt 1$, entonces $\frac{1}{x} \gt 1$, lo que implica que $1 - \frac{1}{x} \lt 0$. - Al ser suma de dos términos negativos, $f'(x) \lt 0$. Por tanto, **$f(x)$ es decreciente**. 2. **En el intervalo $(1, +\infty)$:** - $\ln x \gt 0$ (ya que el logaritmo de números mayores que 1 es positivo). - Si $x \gt 1$, entonces $\frac{1}{x} \lt 1$, lo que implica que $1 - \frac{1}{x} \gt 0$. - Al ser suma de dos términos positivos, $f'(x) \gt 0$. Por tanto, **$f(x)$ es creciente**. 💡 **Tip:** Justificar el signo de la derivada por análisis de sus sumandos es una técnica útil cuando no se quiere o no se puede resolver $f'(x)=0$ fácilmente.

Basándonos en el estudio anterior: - En $x = 1$ la función pasa de ser decreciente a creciente. - Además, observamos que $f'(1) = 10(\ln 1 + 1 - 1/1) = 10(0 + 0) = 0$. Por tanto, existe un **mínimo relativo** en $x = 1$. Calculamos su ordenada: $$f(1) = -2 + 10(1 - 1) \ln 1 = -2.$$ No existen máximos relativos ya que la función es siempre decreciente antes de $x=1$ y siempre creciente después. ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, -2). \text{ No tiene máximos relativos.}}$$

**c) Calcule $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, y haga un esbozo de la gráfica de esta función.** Calculamos el límite en el borde del dominio: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} [-2 + 10(x - 1) \ln x] = -2 + 10(-1)(-\infty) = -2 + \infty = +\infty.$$ (Nota: $(x-1) \to -1$ y $\ln x \to -\infty$ cuando $x \to 0^+$). Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} [-2 + 10(x - 1) \ln x] = -2 + 10(+\infty)(+\infty) = +\infty.$$ ✅ **Resultado (límites):** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$

Para el esbozo, unimos los puntos clave: 1. Asíntota vertical en $x = 0$ (hacia $+\infty$). 2. Mínimo en $(1, -2)$. 3. Raíz en el intervalo $[1,4, \, 1,5]$. 4. Crecimiento ilimitado hacia $+\infty$. Como la función tiende a $+\infty$ en $x=0$ y baja hasta $-2$ en $x=1$, debe existir otra raíz en el intervalo $(0, 1)$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -2 + 10(x-1)\\ln(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(1, -2)", "showLabel": true, "label": "Mínimo (1, -2)", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 3, "bottom": -4, "top": 10 } } }