Plano mediador, distancias y área de un triángulo

**a) Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P = (x, y, z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P, A) = d(P, B)$.** Primero, calculamos el punto medio $M$ del segmento $AB$: $$M = \left( \frac{1 + (-3)}{2}, \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{6}{2} \right) = (-1, 0, 3).$$ Como el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $AB$, el vector director $\vec{AB}$ será el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} = B - A = (-3 - 1, -2 - 2, 3 - 3) = (-4, -4, 0).$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n} = (1, 1, 0)$ ya que solo importa la dirección. La ecuación del plano es de la forma $x + y + D = 0$. Sustituimos el punto $M(-1, 0, 3)$: $$-1 + 0 + D = 0 \implies D = 1.$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x + y + 1 = 0}$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio se denomina **plano mediador**.

Para justificar que $d(P, A) = d(P, B)$, planteamos la igualdad de las distancias para un punto genérico $P(x, y, z)$: $$\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2} = \sqrt{(x+3)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2}.$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado y desarrollamos los productos notables: $$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x+3)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2$$ $$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z + 9$$ Simplificamos los términos comunes ($x^2, y^2, z^2$ y constantes): $$-2x - 4y + 5 = 6x + 4y + 13$$ Agrupamos términos a un lado: $$8x + 8y + 8 = 0 \implies x + y + 1 = 0.$$ Como llegamos a la misma ecuación del plano, queda demostrado que el plano $\pi$ es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x + y + 1 = 0}$$

**b) Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta.** Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$ Para el punto $A(1, 2, 3)$: $$d(A, \pi) = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ unidades}.$$ Para el punto $B(-3, -2, 3)$: $$d(B, \pi) = \frac{|-3 - 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ unidades}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{4}{\sqrt{2}}$ se racionaliza multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{2}$.

La igualdad de las distancias **no es casualidad**. Por definición, el plano mediador de un segmento $AB$ es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de los extremos $A$ y $B$. El punto medio $M$ pertenece al plano y es el punto del plano que minimiza la distancia a ambos extremos. Dado que el plano es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio, los puntos $A$ y $B$ son simétricos respecto a dicho plano. Por tanto, cualquier medida de distancia desde el plano hacia $A$ o hacia $B$ a lo largo de la normal debe ser idéntica. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{d(A, \pi) = d(B, \pi) = 2\sqrt{2}. \text{ No es casualidad, es la definición de plano mediador.}}$$

**c) Sea $C = (-7, 6, 3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área.** Para saber si es isósceles, calculamos la longitud de sus tres lados: 1. Lado $AB$: $$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$$ 2. Lado $AC$: $$\vec{AC} = C - A = (-7 - 1, 6 - 2, 3 - 3) = (-8, 4, 0).$$ $$d(A, C) = |\vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$ 3. Lado $BC$: $$\vec{BC} = C - B = (-7 - (-3), 6 - (-2), 3 - 3) = (-4, 8, 0).$$ $$d(B, C) = |\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$ Como $d(A, C) = d(B, C)$, el triángulo **es isósceles**. 💡 **Tip:** Un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados iguales. En este caso, los lados que confluyen en el vértice $C$ son iguales.

El área de un triángulo con vértices $A, B$ y $C$ se puede calcular mediante el producto vectorial: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|.$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -4 & 0 \\ -8 & 4 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que tiene ceros): $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + [(-4)(4) - (-4)(-8)]\mathbf{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-16 - 32)\mathbf{k} = (0, 0, -48).$$ Calculamos el módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-48)^2} = 48.$$ Finalmente, el área es: $$Area = \frac{48}{2} = 24 \text{ unidades}^2.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es isósceles y su área es } 24 \text{ u}^2}$$