Análisis 2024 Cataluna
Optimización del coste de un cobertizo
Se quiere construir un pequeño cobertizo de madera de $6\text{ m}^3$ de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, se quiere que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de $30\text{ €}$ y el techo cuesta $50\text{ €}$ por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadir una puerta tiene un coste fijo de $35\text{ €}$.
a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función $C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35$, donde $x$ es la profundidad del cobertizo en metros.
[1,25 puntos]
b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste?
[1,25 puntos]
Paso 1
Definición de variables y relación con el volumen
**a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función $C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35$, donde $x$ es la profundidad del cobertizo en metros.**
Primero, definimos las dimensiones del cobertizo según el enunciado:
- Profundidad: $x$ metros.
- Anchura: $y = 3x$ metros (el triple de la profundidad).
- Altura: $h$ metros.
El volumen del prisma rectangular es $V = \text{profundidad} \cdot \text{anchura} \cdot \text{altura}$. Como el volumen debe ser $6\text{ m}^3$:
$$V = x \cdot (3x) \cdot h = 3x^2h = 6$$
Despejamos la altura $h$ en función de $x$:
$$h = \frac{6}{3x^2} = \frac{2}{x^2}$$
💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos usar los datos de restricción (como el volumen fijo) para expresar todas las variables en función de una sola.
Paso 2
Cálculo de las áreas y función de coste
Calculamos el área de cada parte a construir:
1. **Techo:** Es un rectángulo de base $3x$ y profundidad $x$.
$$A_{\text{techo}} = 3x \cdot x = 3x^2 \text{ m}^2$$
2. **Paredes:** Solo hay tres paredes (dos laterales y una frontal).
- Dos laterales (rectángulos de $x$ por $h$): $2 \cdot (x \cdot h) = 2xh$.
- Una frontal (rectángulo de $3x$ por $h$): $3x \cdot h = 3xh$.
$$A_{\text{paredes}} = 2xh + 3xh = 5xh \text{ m}^2$$
Sustituimos $h = \frac{2}{x^2}$ en el área de las paredes:
$$A_{\text{paredes}} = 5x \left( \frac{2}{x^2} \right) = \frac{10}{x} \text{ m}^2$$
Calculamos el coste total sumando el techo, las paredes y el coste fijo de la puerta:
$$C(x) = (A_{\text{techo}} \cdot 50) + (A_{\text{paredes}} \cdot 30) + 35$$
$$C(x) = (3x^2 \cdot 50) + \left( \frac{10}{x} \cdot 30 \right) + 35$$
Simplificando:
$$\boxed{C(x) = 150x^2 + \frac{300}{x} + 35}$$
Tal como queríamos demostrar.
Paso 3
Cálculo del mínimo mediante la derivada
**b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste?**
Para minimizar el coste, buscamos los puntos críticos donde la derivada $C'(x)$ es igual a cero.
Derivamos $C(x) = 150x^2 + 300x^{-1} + 35$:
$$C'(x) = 300x - 300x^{-2} = 300x - \frac{300}{x^2}$$
Igualamos a cero:
$$300x - \frac{300}{x^2} = 0 \implies 300x = \frac{300}{x^2} \implies x^3 = 1$$
$$x = \sqrt[3]{1} = 1 \text{ m}$$
💡 **Tip:** Recuerda que al derivar $\frac{1}{x}$, el resultado es $-\frac{1}{x^2}$.
Paso 4
Justificación del mínimo
Para justificar que $x = 1$ es un mínimo, utilizamos la segunda derivada $C''(x)$:
$$C''(x) = (300x - 300x^{-2})' = 300 + 600x^{-3} = 300 + \frac{600}{x^3}$$
Evaluamos en el punto crítico $x = 1$:
$$C''(1) = 300 + \frac{600}{1^3} = 900$$
Como $C''(1) \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 1$.
También podemos observar el signo de la primera derivada alrededor de $x=1$:
$$\begin{array}{c|ccc}
x & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline
C'(x) & - & 0 & +
\end{array}$$
La función decrece antes de $x=1$ y crece después, confirmando el mínimo.
Paso 5
Dimensiones finales y coste mínimo
Calculamos las dimensiones correspondientes a $x = 1 \text{ m}$:
- Profundidad: $\mathbf{x = 1 \text{ m}}$
- Anchura: $y = 3x = 3(1) = \mathbf{3 \text{ m}}$
- Altura: $h = \frac{2}{x^2} = \frac{2}{1^2} = \mathbf{2 \text{ m}}$
Finalmente, calculamos el coste mínimo sustituyendo $x=1$ en $C(x)$:
$$C(1) = 150(1)^2 + \frac{300}{1} + 35 = 150 + 300 + 35 = 485 \text{ €}$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Dimensiones: } 1 \text{ m de prof., } 3 \text{ m de anchura, } 2 \text{ m de altura. Coste: } 485 \text{ €}}$$