Probabilidad de extracciones con y sin reemplazo

Lo primero que debemos hacer es contar cuántas bolas de cada tipo hay en la bolsa para definir nuestro espacio muestral. Las letras disponibles son: $B, A, Y, E, S, F, A, N, S$. Contamos las repeticiones: - Letra $A$: 2 bolas - Letra $S$: 2 bolas - Letra $B$: 1 bola - Letra $E$: 1 bola - Letra $F$: 1 bola - Letra $N$: 1 bola - Letra $Y$: 1 bola **Total de bolas ($N$):** $2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9$ bolas. 💡 **Tip:** Siempre verifica que la suma de las frecuencias coincida con el total de elementos mencionados en el enunciado.

**a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una después de otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda). — Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una $A$ o una $E$.** Como solo nos preguntan por la **primera bola**, el hecho de que sea sin reemplazo no afecta a este cálculo individual. Aplicamos la regla de Laplace para sucesos elementales: - Número de casos favorables (sacar $A$ o $E$): Hay 2 bolas con $A$ y 1 bola con $E$. En total, $2 + 1 = 3$ casos. - Número de casos totales: 9 bolas. $$P(1^a = A \cup E) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{2 + 1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{1}{3} \approx 0,3333}$$

Para calcular la probabilidad de que sean **diferentes**, es mucho más sencillo utilizar el suceso complementario: calcular la probabilidad de que sean **iguales** y restársela a $1$. Las únicas bolas que se pueden repetir (porque hay más de una) son la $A$ y la $S$. Al ser una extracción **sin reemplazo**, la probabilidad de la segunda bola depende de la primera: 1. **Caso 1: Ambas son $A$ ($P(AA)$)** - Primera bola $A$: $2/9$ - Segunda bola $A$: Queda una $A$ de 8 bolas totales $\to 1/8$ $$P(AA) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72}$$ 2. **Caso 2: Ambas son $S$ ($P(SS)$)** - Primera bola $S$: $2/9$ - Segunda bola $S$: Queda una $S$ de 8 bolas totales $\to 1/8$ $$P(SS) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72}$$ La probabilidad de que sean iguales es: $$P(\text{Iguales}) = P(AA) + P(SS) = \frac{2}{72} + \frac{2}{72} = \frac{4}{72} = \frac{1}{18}$$ Finalmente, calculamos el complementario: $$P(\text{Diferentes}) = 1 - P(\text{Iguales}) = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{17}{18} \approx 0,9444}$$

**b) Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazo. — Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna $A$.** Al realizar 5 extracciones independientes (con reemplazo), estamos ante una **Distribución Binomial**. Definimos la variable aleatoria $X$: $X =$ "Número de bolas con la letra $A$ obtenidas en 5 extracciones". Los parámetros son: - $n = 5$ (número de experimentos). - $p = P(A) = \frac{2}{9}$ (probabilidad de éxito). - $q = 1 - p = \frac{7}{9}$ (probabilidad de fracaso, es decir, no sacar $A$). Entonces, $X \sim B(5, \, 2/9)$. Para el primer subapartado, buscamos $P(X = 0)$: $$P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^0 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^5$$ $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{16807}{59049} \approx 0,2846$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=0) = \frac{16807}{59049} \approx 0,2846}$$

Nos piden calcular la probabilidad de que haya sacado **al menos dos $A$**, es decir, $P(X \ge 2)$. Es más rápido calcularlo mediante el suceso contrario: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$$ Ya conocemos $P(X=0)$. Calculamos $P(X=1)$: $$P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^1 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^4 = 5 \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{2401}{6561} = \frac{24010}{59049}$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(X < 2) = \frac{16807}{59049} + \frac{24010}{59049} = \frac{40817}{59049}$$ Finalmente: $$P(X \ge 2) = 1 - \frac{40817}{59049} = \frac{59049 - 40817}{59049} = \frac{18232}{59049} \approx 0,3088$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. En este caso, $\binom{5}{1} = 5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = \frac{18232}{59049} \approx 0,3088}$$