Estudio de una función cúbica y cálculo de áreas

**a) A partir de la expresión de $f(x)$, calcule las coordenadas de los puntos $P$, $Q$ y $R$ indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta $PR$.** El punto $P$ representa la intersección de la función con el eje de ordenadas (eje $y$), por lo que su abscisa es $x = 0$. Calculamos su valor sustituyendo en la función: $$f(0) = -(0)^3 + 7(0)^2 - 6(0) + 5 = 5$$ 💡 **Tip:** La intersección con el eje $y$ siempre se obtiene evaluando $f(0)$. En una función polinómica, coincide con el término independiente. Por tanto, las coordenadas del punto $P$ son: $$\boxed{P(0, 5)}$$

El punto $Q$ es el máximo relativo de la función. Para hallarlo, calculamos la primera derivada y buscamos sus raíces: $$f'(x) = -3x^2 + 14x - 6$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-3x^2 + 14x - 6 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4(-3)(-6)}}{2(-3)} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 72}}{-6} = \frac{-14 \pm \sqrt{124}}{-6}$$ $$x = \frac{-14 \pm 2\sqrt{31}}{-6} = \frac{7 \mp \sqrt{31}}{3}$$ Obtenemos dos valores aproximados: - $x_1 = \frac{7 - \sqrt{31}}{3} \approx 0,47$ (mínimo relativo según la gráfica). - $x_2 = \frac{7 + \sqrt{31}}{3} \approx 4,19$ (máximo relativo, punto $Q$). Calculamos la ordenada de $Q$ evaluando $f(4,19)$: $$f(4,19) = -(4,19)^3 + 7(4,19)^2 - 6(4,19) + 5 \approx 29,19$$ $$\boxed{Q(4,19, 29,19)}$$

Observando el esbozo, el punto $R$ se encuentra a la misma altura que $P$, es decir, tiene una ordenada $y = 5$. Buscamos los puntos donde la función corta a la recta horizontal $y = 5$: $$-x^3 + 7x^2 - 6x + 5 = 5$$ $$-x^3 + 7x^2 - 6x = 0$$ $$-x(x^2 - 7x + 6) = 0$$ Las soluciones son $x = 0$ (punto $P$) y las raíces de $x^2 - 7x + 6 = 0$, que son: $$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \implies x = 1, x = 6$$ Dado que $R$ está a la derecha de $Q$, tomamos $x = 6$. Por tanto: $$\boxed{R(6, 5)}$$ Como $P(0, 5)$ y $R(6, 5)$ tienen la misma ordenada, la recta que los une es una recta horizontal: $$\boxed{y = 5}$$

**b) Calcule la superficie del terreno.** La superficie del terreno corresponde al área encerrada bajo la curva $f(x)$ y sobre el eje $x$ ($y=0$), desde $x=0$ hasta el punto donde termina el terreno en $x=6$. Dado que la función es positiva en todo el intervalo $[0, 6]$, la superficie $S$ viene dada por la integral definida: $$S = \int_{0}^{6} (-x^3 + 7x^2 - 6x + 5) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función cruzara el eje $x$ en el intervalo, deberíamos dividir la integral en recintos y usar valores absolutos, pero aquí $f(x) \gt 0$ siempre en $[0,6]$. $$\boxed{S = \int_{0}^{6} f(x) \, dx}$$

Calculamos la primitiva de la función: $$F(x) = \int (-x^3 + 7x^2 - 6x + 5) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{7x^3}{3} - 3x^2 + 5x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre 0 y 6: $$S = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{7x^3}{3} - 3x^2 + 5x \right]_{0}^{6}$$ $$S = \left( -\frac{6^4}{4} + \frac{7 \cdot 6^3}{3} - 3 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6 \right) - (0)$$ $$S = \left( -\frac{1296}{4} + \frac{7 \cdot 216}{3} - 3 \cdot 36 + 30 \right)$$ $$S = -324 + 504 - 108 + 30 = 102$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{S = 102 \text{ unidades de superficie}}$$