Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$, y resuélvalo para $k = 0$.** Escribimos las matrices asociadas al sistema, la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A'$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}; \quad A' = \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & k & 3 \\ 3 & 3 & 0 & 1 \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (4)(-1)(0) + (1)(3)(-1) + (3)(2)(k) - [(-1)(-1)(3) + (k)(3)(4) + (0)(2)(1)]$$ $$|A| = (0 - 3 + 6k) - (3 + 12k + 0) = 6k - 3 - 3 - 12k = -6k - 6$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-6k - 6 = 0 \implies -6k = 6 \implies k = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz nos permite determinar si el sistema es compatible determinado basándonos en el Teorema de Rouché-Frobenius.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los rangos de $A$ y $A'$: **Caso 1: $k \neq -1$** Si $k \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3 y, como la matriz ampliada solo tiene 3 filas, su rango también será 3. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A') = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $k = -1$** Si $k = -1$, el determinante de $A$ es 0, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4 - 2 = -6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A'$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = [(-4) + 18 + 12] - [(-12) + 36 + 2] = 26 - 26 = 0$$ Como el único menor posible es 0, $\text{rg}(A') = 2$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A') = 2 < 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Si } k \neq -1: \text{SCD; Si } k = -1: \text{SCI}}$$

Para $k = 0$, el sistema es Compatible Determinado. Usamos la regla de Cramer. Sabemos que $|A| = -6(0) - 6 = -6$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -1\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1(9 - (-1)) = -10$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} 4 & 4 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1(1 - 9) = 8$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad (\text{calculado anteriormente})$$ Obtenemos los valores: $$x = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}; \quad y = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}; \quad z = \frac{0}{-6} = 0$$ ✅ **Resultado (para k = 0):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, 0 \right)}$$

**b) Resuelva el sistema para $k = -1$.** Para $k = -1$ el sistema es Compatible Indeterminado ($\text{rg} = 2$). Seleccionamos las dos primeras ecuaciones y tomamos $z = \lambda$ como parámetro: $$\begin{cases} 4x + 2y - \lambda = 4 \\ x - y - \lambda = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 2y = 4 + \lambda \\ x - y = 3 + \lambda \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $x = y + 3 + \lambda$. Sustituimos en la primera: $$4(y + 3 + \lambda) + 2y = 4 + \lambda \implies 4y + 12 + 4\lambda + 2y = 4 + \lambda$$ $$6y = -8 - 3\lambda \implies y = -\frac{8}{6} - \frac{3}{6}\lambda = -\frac{4}{3} - \frac{1}{2}\lambda$$ Calculamos $x$: $$x = \left(-\frac{4}{3} - \frac{1}{2}\lambda\right) + 3 + \lambda = \frac{5}{3} + \frac{1}{2}\lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2, una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Al resolver, dejamos las soluciones en función de un parámetro real. ✅ **Resultado (para k = -1):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{5}{3} + \frac{1}{2}\lambda, -\frac{4}{3} - \frac{1}{2}\lambda, \lambda \right) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) Para $k = -1$, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta.** Si $k = -1$, las ecuaciones son: $E_1: 4x + 2y - z = 4$ $E_2: x - y - z = 3$ $E_3: 3x + 3y = 1$ Observemos que si restamos la segunda ecuación a la primera ($E_1 - E_2$): $$(4x - x) + (2y - (-y)) + (-z - (-z)) = 4 - 3$$ $$3x + 3y = 1$$ Esto coincide exactamente con la tercera ecuación original, lo que hace que el sistema sea compatible. Para que el sistema sea **incompatible**, debemos romper esta relación de coherencia. Si cambiamos el término independiente de la tercera ecuación por cualquier valor distinto de $1$ (por ejemplo, $5$), el sistema no tendrá solución: Nueva $E_3: 3x + 3y = 5$ **Justificación:** Al hacer $E_1 - E_2$ obtenemos $3x + 3y = 1$, pero la nueva $E_3$ afirma que $3x + 3y = 5$. Es imposible que la misma expresión valga $1$ y $5$ a la vez. ✅ **Resultado (Modificación):** $$\boxed{3x + 3y = 5 \quad (\text{o cualquier valor } \neq 1)}$$