Estudio de una función logarítmica: monotonía, asíntotas y recta tangente

**a) Estudie sus máximos y sus mínimos, y sus zonas de crecimiento y de decrecimiento. [1 punto]** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de $f(x) = \frac{2 \ln x}{x}$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = 2 \cdot \frac{(\ln x)' \cdot x - (\ln x) \cdot (x)'}{x^2} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}$$ Simplificando el numerador: $$f'(x) = 2 \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 2 - 2\ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ y que $\ln x = 1$ equivale a $x = e^1$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x^2}, \quad \text{Punto crítico: } x = e}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio ($x \gt 0$) y el punto crítico $x = e$. El denominador $x^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende solo de $1 - \ln x$. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - En $(0, e)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(e, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, luego la función es **decreciente**. En $x = e$ hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(e) = 2 \frac{\ln e}{e} = 2 \frac{1}{e} = \frac{2}{e}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, e), \text{ Decreciente en } (e, +\infty). \text{ Máximo en } \left(e, \frac{2}{e}\right).}$$ 💡 **Tip:** Para determinar el signo rápidamente, evalúa un valor sencillo como $x=1$ ($1-\ln 1 = 1 > 0$) y $x=e^2$ ($1-\ln e^2 = 1-2 = -1 < 0$).

**b) ¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica. [1 punto]** **Asíntotas Verticales (AV):** El dominio es $(0, +\infty)$. Estudiamos el límite cuando $x \to 0^+$: $$\lim_{x \to 0^+} 2 \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x = 0$**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Estudiamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} 2 \frac{\ln x}{x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} 2 \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 0$** cuando $x \to +\infty$. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal hacia $+\infty$, no hay asíntota oblicua en esa dirección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x = 0, \quad \text{AH: } y = 0.}$$

Para el esbozo, tenemos en cuenta: 1. Pasa por el punto $(1, 0)$ ya que $f(1) = 2 \frac{\ln 1}{1} = 0$. 2. Máximo en $(e, 2/e) \approx (2.71, 0.73)$. 3. Asíntota vertical en el eje Y ($x=0$) hacia $-\infty$. 4. Asíntota horizontal en el eje X ($y=0$) hacia el infinito positivo.

**c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. [0,5 puntos]** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos $f(1)$: $$f(1) = 2 \frac{\ln 1}{1} = 2 \cdot 0 = 0 \implies P(1, 0)$$ 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Calculamos $f'(1)$ usando la derivada obtenida en el apartado (a): $$f'(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x^2} \implies f'(1) = \frac{2(1 - \ln 1)}{1^2} = \frac{2(1 - 0)}{1} = 2$$ 3. **Ecuación de la recta:** $$y - 0 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2x - 2}$$