Probabilidad y Estadística 2024 Canarias
Penaltis: distribución binomial, aproximación normal e interpretación
4B. El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 70 lanzamientos en cada entrenamiento.
a) [1,25 pts] Calcular la probabilidad de marcar entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento.
b) [0,75 pts] Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90%, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justificar la respuesta.
c) [0,5 pts] Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcular el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada.
Paso 1
Modelización binomial
Sea $X$ el número de penaltis marcados en un entrenamiento de 70 lanzamientos.
Como marca con probabilidad $p=\frac{3}{5}=0{,}6$ (y falla con $q=0{,}4$), y suponiendo independencia:
$$X\sim \operatorname{Bin}(n=70,\,p=0{,}6).$$
Parámetros:
$$\mu=np=70\cdot 0{,}6=42,\qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{70\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4}=\sqrt{16{,}8}\approx 4{,}099.$$
💡 **Tip:** Antes de aproximar por normal, comprueba $np\ge 5$ y $nq\ge 5$ (aquí 42 y 28).
Paso 2
a) Probabilidad de marcar entre 40 y 45
Queremos $P(40\le X\le 45)$.
Aproximamos por normal con corrección por continuidad:
$$P(40\le X\le 45)\approx P(39{,}5\le Y\le 45{,}5),\quad Y\sim N(42,\,4{,}099^2).$$
Tipificamos ($Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}$):
$$z_1=\frac{39{,}5-42}{4{,}099}\approx -0{,}610,\qquad z_2=\frac{45{,}5-42}{4{,}099}\approx 0{,}854.$$
Entonces:
$$P(40\le X\le 45)\approx \Phi(0{,}854)-\Phi(-0{,}610)\approx 0{,}532.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(40\le X\le 45)\approx 0{,}532\ \text{(53,2\%)}}$$
\n
\n💡 **Tip:** En intervalos $[a,b]$ de una binomial, usa $[a-0{,}5,\,b+0{,}5]$ al pasar a normal.Esquema: probabilidad aproximada del intervalo mediante normal tipificada.
\nPaso 3
b) ¿Se selecciona? Probabilidad de marcar más de la mitad
“Más de la mitad” de 70 es $>35$, es decir:
$$P(X>35)=P(X\ge 36).$$
Con continuidad:
$$P(X\ge 36)\approx P(Y\ge 35{,}5).$$
Tipificamos:
$$z=\frac{35{,}5-42}{4{,}099}\approx -1{,}586.$$
Entonces:
$$P(X\ge 36)\approx P(Z\ge -1{,}586)=\Phi(1{,}586)\approx 0{,}944.$$
Como $0{,}944>0{,}90$:
✅ Conclusión:
$$\boxed{\text{Sí, sería seleccionado (probabilidad }\approx 94{,}4\%\text{).}}$$
💡 **Tip:** Cuando el umbral está bastante por debajo de la media ($36$ frente a $42$), la probabilidad suele ser alta.
Paso 4
c) Número esperado de penaltis marcados en 450 lanzamientos
Si en una temporada lanza $n=450$ penaltis, el número de goles $T$ sigue $T\sim\operatorname{Bin}(450,0{,}6)$.
El valor esperado es:
$$\mathbb{E}[T]=np=450\cdot 0{,}6=270.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\text{Se espera que marque }270\text{ penaltis en la temporada.}}$$
💡 **Tip:** “Se espera” significa promedio teórico a largo plazo: $np$.