Probabilidad y Estadística 2024 Canarias
Probabilidad total y Bayes con tres virus
4A. Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es 2/3 y que la produzca C es 1/7.
a) Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad? 1.5 ptos
b) Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus C? 1 pto
Paso 1
Definir sucesos y probabilidades iniciales
Sea:
- $A,B,C$: “se elige un tubo con virus A, B o C”.
- $E$: “el animal enferma”.
Como se elige **un tubo al azar** entre $3+2+5=10$ tubos:
$$P(A)=\frac{3}{10},\quad P(B)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5},\quad P(C)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$
Y nos dan:
$$P(E\mid A)=\frac{1}{3},\quad P(E\mid B)=\frac{2}{3},\quad P(E\mid C)=\frac{1}{7}.$$
💡 **Tip:** Distingue siempre entre $P(E\mid A)$ (condicionada) y $P(A)$ (probabilidad de elegir el virus).
Paso 2
Apartado a) Aplicar la probabilidad total
**a) [1.5 ptos]**
Por el teorema de la probabilidad total:
$$P(E)=P(A)P(E\mid A)+P(B)P(E\mid B)+P(C)P(E\mid C).$$
Sustituyendo:
$$P(E)=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}.$$
Calculamos:
- $\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{10}$
- $\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{15}$
- $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{14}$
Sumamos (m.c.m. 210):
$$\frac{1}{10}+\frac{2}{15}+\frac{1}{14}=\frac{21}{210}+\frac{28}{210}+\frac{15}{210}=\frac{64}{210}=\frac{32}{105}.$$
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{P(E)=\frac{32}{105}}.$$
Paso 3
Apartado b) Usar Bayes condicionando a que NO hay enfermedad
**b) [1 pto]**
Sea $\overline{E}$: “no enferma”. Entonces:
$$P(\overline{E}\mid A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\quad P(\overline{E}\mid B)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},\quad P(\overline{E}\mid C)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}.$$
Primero calculamos $P(\overline{E})$ (probabilidad total):
$$P(\overline{E})=P(A)P(\overline{E}\mid A)+P(B)P(\overline{E}\mid B)+P(C)P(\overline{E}\mid C).$$
$$P(\overline{E})=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{7}=
\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+\frac{3}{7}.$$
Sumamos (m.c.m. 105):
$$\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+\frac{3}{7}=\frac{21}{105}+\frac{7}{105}+\frac{45}{105}=\frac{73}{105}.$$
Ahora, por Bayes:
$$P(C\mid \overline{E})=\frac{P(C)P(\overline{E}\mid C)}{P(\overline{E})}=
\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{7}}{\frac{73}{105}}=
\frac{\frac{3}{7}}{\frac{73}{105}}=\frac{3}{7}\cdot\frac{105}{73}=\frac{45}{73}.$$
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{P(C\mid \overline{E})=\frac{45}{73}}.$$
💡 **Tip:** En Bayes, recuerda: “lo que busco” arriba ($P(C)P(\overline{E}\mid C)$) y “lo observado” abajo ($P(\overline{E})$).