Geometría en el espacio 2024 Canarias
Vectores y geometría 3D: Cauchy-Schwarz, intersección recta-plano y ángulo
3B. Responder a las siguientes cuestiones:
a) Justificar si pueden existir vectores $\vec u$ y $\vec v$, que comparten el punto de origen, y cumplen $|\vec u|=2$, $|\vec v|=3$ y $\vec u\cdot\vec v=8$.
b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes:
$$\pi: x+3y+2z+3=0,\qquad r:\begin{cases}2x-3y-z=4\\x+y+2z=-3\end{cases}$$
Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman.
Paso 1
a) Comprobar si existen u y v con el producto escalar dado
Para cualesquiera vectores $\vec u,\vec v$ se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
$$|\vec u\cdot\vec v|\le \|\vec u\|\,\|\vec v\|.$$
Con $|\vec u|=2$ y $|\vec v|=3$:
$$|\vec u\cdot\vec v|\le 2\cdot 3=6.$$
Pero el enunciado pide $\vec u\cdot\vec v=8$, y
$$|8|=8\gt 6.$$
✅ Conclusión:
$$\boxed{\text{No pueden existir tales vectores.}}$$
💡 **Tip:** Si te dan $|\vec u|$, $|\vec v|$ y $\vec u\cdot\vec v$, lo primero es comprobar si respeta Cauchy-Schwarz.
Paso 2
b) Obtener una parametrización de la recta r
La recta $r$ es la intersección de los planos:
$$\begin{cases}
2x-3y-z=4\\
x+y+2z=-3
\end{cases}$$
Tomamos $z=t$. De la segunda ecuación:
$$x=-3-y-2t.$$
Sustituimos en la primera:
$$2(-3-y-2t)-3y-t=4$$
$$-6-2y-4t-3y-t=4$$
$$-5y-5t=10\Rightarrow y+t=-2\Rightarrow y=-2-t.$$
Entonces:
$$x=-3-(-2-t)-2t=-1-t.$$
✅ Parametrización:
$$\boxed{r:(x,y,z)=(-1,-2,0)+t(-1,-1,1)}$$
💡 **Tip:** Para intersección “dos planos = recta”, parametrizar fijando una variable suele ser lo más rápido.
Paso 3
b) Punto de corte entre r y el plano π
Sustituimos la recta en el plano $\pi: x+3y+2z+3=0$.
Con
$$x=-1-t,\quad y=-2-t,\quad z=t,$$
queda:
$$(-1-t)+3(-2-t)+2t+3=0$$
$$-1-t-6-3t+2t+3=0$$
$$-4-2t=0\Rightarrow t=-2.$$
Punto de intersección:
$$I=(-1-(-2),\,-2-(-2),\,-2)=(1,0,-2).$$
✅ Resultado:
$$\boxed{r\cap\pi=I(1,0,-2)}$$
💡 **Tip:** Si al sustituir te sale un único valor de $t$, la recta es secante al plano (corte en un punto).
Paso 4
b) Ángulo entre la recta r y el plano π
Un vector director de la recta es:
$$\vec v=(-1,-1,1).$$
Un vector normal del plano $\pi$ es:
$$\vec n=(1,3,2).$$
El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano cumple:
$$\sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{\|\vec v\|\,\|\vec n\|}.$$
Calculamos:
$$\vec v\cdot\vec n=(-1)\cdot1+(-1)\cdot3+1\cdot2=-2\Rightarrow |\cdot|=2.$$
$$\|\vec v\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt3,\qquad \|\vec n\|=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}.$$
Entonces:
$$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt3\,\sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{42}}.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\alpha=\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)\approx 18{,}0^\circ}$$
💡 **Tip:** Si en lugar de esta fórmula calculas el ángulo entre $\vec v$ y $\vec n$, recuerda que ese es el ángulo con la normal; el ángulo recta-plano es el complementario.