Geometría en el espacio 2024 Canarias
Rectas en el espacio: posición relativa y recta perpendicular común
3A. En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:
$$r_1:\begin{cases}x-3y+2z+2=0\\2x+y-3z=3\end{cases}\qquad r_2:\frac{1-x}{2}=y=\frac{1-z}{2}$$
a) Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores.
b) Hallar la ecuación de la recta $s$ que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por $P\left(0,\frac{1}{2},0\right)$. Calcular el punto de corte de la recta $s$ con la recta $r_1$.
Paso 1
Poner r1 y r2 en forma paramétrica y obtener sus vectores directores
### Recta $r_1$
$r_1$ es la intersección de los planos
$$\Pi_1: x-3y+2z+2=0\ (\vec n_1=(1,-3,2)),\qquad \Pi_2: 2x+y-3z=3\ (\vec n_2=(2,1,-3)).$$
Su vector director es el producto vectorial:
$$\vec v_1=\vec n_1\times\vec n_2=(1,-3,2)\times(2,1,-3)=(7,7,7)\sim (1,1,1).$$
Buscamos un punto de $r_1$. Tomando $y=t$:
- De $\Pi_2-\Pi_1$: $(2x+y-3z)-(x-3y+2z+2)=3\Rightarrow x+4y-5z=5$.
Más directo: resolviendo con $y=t$ se obtiene
$$z=t-1,\quad x=t.$$
Así,
$$\boxed{r_1:(x,y,z)=(0,0,-1)+t(1,1,1).}$$
---
### Recta $r_2$
$$\frac{1-x}{2}=y=\frac{1-z}{2}=\lambda\Rightarrow x=1-2\lambda,\ y=\lambda,\ z=1-2\lambda.$$
Luego,
$$\boxed{r_2:(x,y,z)=(1,0,1)+\lambda(-2,1,-2).}$$
Por tanto, $\vec v_2=(-2,1,-2)$.
💡 **Tip:** Si una recta está como intersección de planos, su director es el producto vectorial de las normales.
Paso 2
a) Posición relativa de r1 y r2
1) **No son paralelas** porque
$$(1,1,1)\not\parallel(-2,1,-2).$$
2) Probamos si **se cortan**:
Igualamos parametrizaciones:
$$(0,0,-1)+t(1,1,1)=(1,0,1)+\lambda(-2,1,-2).$$
Sistema:
$$\begin{cases}
t=1-2\lambda\\
t=\lambda\\
-1+t=1-2\lambda
\end{cases}$$
De $t=\lambda$, sustituyendo en la primera:
$$t=1-2t\Rightarrow 3t=1\Rightarrow t=\frac{1}{3},\ \lambda=\frac{1}{3}.$$
Comprobamos en la tercera:
$$-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\neq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$
No hay solución, luego **no se cortan**.
✅ Conclusión:
$$\boxed{r_1\ \text{y}\ r_2\ \text{son cruzadas (se cruzan, no son coplanarias).}}$$
💡 **Tip:** En 3D, si no son paralelas y no se cortan, son cruzadas.
Paso 3
b) Recta s perpendicular a ambas y que pasa por P
Una recta perpendicular a ambas debe tener un vector director perpendicular a $\vec v_1$ y $\vec v_2$. Un candidato natural es:
$$\vec v_s=\vec v_1\times \vec v_2=(1,1,1)\times(-2,1,-2)=(-3,0,3)\sim(-1,0,1).$$
Como pasa por $P\left(0,\frac{1}{2},0\right)$,
$$\boxed{s:(x,y,z)=\left(0,\frac{1}{2},0\right)+\mu(-1,0,1).}$$
En forma implícita (muy útil aquí):
$$\boxed{y=\frac{1}{2},\quad x+z=0.}$$
💡 **Tip:** “Perpendicular a dos direcciones” $\Rightarrow$ usa un producto vectorial para obtener la dirección de la perpendicular común.
Paso 4
b) Punto de corte de s con r1
Parametrización de $r_1$:
$$(x,y,z)=(t,t,t-1).$$
Para que esté en $s$, debe cumplir $y=\frac{1}{2}$, luego:
$$t=\frac{1}{2}.$$
Entonces el punto en $r_1$ es:
$$A=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}-1\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).$$
Comprobación en $s$: $x+z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ ✅
✅ Resultado:
$$\boxed{s\cap r_1=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).}$$