Álgebra 2024 Canarias
Rango de una matriz con parámetro y ecuación matricial
2B. Dada la siguiente matriz:
$$M_k=\begin{pmatrix}
k & 0 & k\\
0 & k & 0\\
2k-3 & 0 & k
\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}$$
a) Estudiar el rango de la matriz $M_k$, dependiendo de los valores del parámetro $k$. 1.25 ptos
b) Tomamos $M_1$ como la matriz anterior para el valor $k=1$, y $B=\begin{pmatrix}-4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}$, hallar la matriz $X$ que satisface la ecuación: $X\cdot M_1 + X\cdot M_1^T = B$ 1.25 ptos
Paso 1
Calcular el determinante para detectar cuándo el rango es 3
**a) [1.25 ptos] Estudiar el rango de la matriz $M_k$, dependiendo de los valores del parámetro $k$.**
Para una matriz $3\times 3$, si $\det(M_k)\neq 0$ entonces $\operatorname{rg}(M_k)=3$.
Calculamos el determinante. Observa que la **segunda columna** tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por esa columna:
$$\det(M_k)=k\,\det\begin{pmatrix}
k & k\\
2k-3 & k
\end{pmatrix}.$$
Ahora el determinante $2\times 2$:
$$\det\begin{pmatrix}
k & k\\
2k-3 & k
\end{pmatrix}=k\cdot k-k(2k-3)=k^2-(2k^2-3k)=-k^2+3k=k(3-k).$$
Por tanto,
$$\det(M_k)=k\cdot k(3-k)=k^2(3-k).$$
💡 **Tip:** En determinantes, si una fila o columna tiene muchos ceros, desarrollar por ahí ahorra mucho trabajo.
Paso 2
Caso general: valores de k con rango 3
De
$$\det(M_k)=k^2(3-k),$$
se tiene
$$\det(M_k)\neq 0\iff k\neq 0\ \text{y}\ k\neq 3.$$
Luego, si $k\in\mathbb{R}\setminus\{0,3\}$,
$$\boxed{\operatorname{rg}(M_k)=3}.$$
Ahora estudiamos los casos especiales $k=0$ y $k=3$ (cuando el determinante vale 0).
Paso 3
Casos especiales k = 0 y k = 3
**Caso 1: $k=0$.**
$$M_0=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
Solo hay **una fila no nula**, así que el espacio fila está generado por $(-3,0,0)$.
$$\boxed{\operatorname{rg}(M_0)=1}.$$
**Caso 2: $k=3$.**
$$M_3=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 3\\
0 & 3 & 0\\
3 & 0 & 3
\end{pmatrix}.$$
Aquí se ve que $F_1=F_3$, así que el rango **no puede ser 3**.
Comprobamos que sí es 2 buscando un menor $2\times 2$ no nulo (por ejemplo, filas 1 y 2; columnas 1 y 2):
$$\det\begin{pmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{pmatrix}=9\neq 0.$$
Luego hay al menos dos filas independientes, y como no puede ser 3:
$$\boxed{\operatorname{rg}(M_3)=2}.$$
✅ **Conclusión del apartado a):**
- Si $k\neq 0$ y $k\neq 3$, $\boxed{\operatorname{rg}(M_k)=3}$.
- Si $k=3$, $\boxed{\operatorname{rg}(M_k)=2}$.
- Si $k=0$, $\boxed{\operatorname{rg}(M_k)=1}$.
Paso 4
Sustituir k=1 y reescribir la ecuación matricial
**b) [1.25 ptos] Tomamos $M_1$ como la matriz anterior para el valor $k=1$, y $B=\begin{pmatrix}-4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}$, hallar la matriz $X$ que satisface: $X\cdot M_1 + X\cdot M_1^T = B$.**
Primero calculamos $M_1$:
$$M_1=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
Y su traspuesta:
$$M_1^T=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
Usamos la propiedad distributiva (factor común $X$):
$$X\cdot M_1+X\cdot M_1^T=X\,(M_1+M_1^T).$$
💡 **Tip:** Siempre que veas $XA+XB$, piensa en factorizar: $XA+XB=X(A+B)$.
Paso 5
Calcular M1 + M1^T y despejar X
Sumamos:
$$M_1+M_1^T=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}=2I_3.$$
Entonces la ecuación queda:
$$X(M_1+M_1^T)=X(2I_3)=2X=B.$$
Así,
$$X=\frac{1}{2}B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.$$
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{X=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}}.$$
💡 **Tip:** Si consigues que aparezca $I$ (la identidad), despejar matrices suele ser tan fácil como despejar números.