Problema de sistemas: aportaciones de tres amigos

Sea: - $a$ = euros que aporta **Aythami** - $b$ = euros que aporta **Besay** - $c$ = euros que aporta **Chamaida** 1) “La razón entre la suma y la diferencia de lo que ponen Aythami y Besay es $\frac{11}{5}$”: $$\frac{a+b}{a-b}=\frac{11}{5}.$$ 2) “La diferencia entre lo aportado por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay”: $$a-c=2b.$$ 3) “El doble de la suma de lo que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a lo que aporta Aythami”: $$2(b+c)=a+2.$$ 💡 **Tip:** Como $\dfrac{a+b}{a-b}$ es positiva y $a,b>0$, tiene sentido suponer $a>b$ para que $a-b>0$.

Partimos de: $$\frac{a+b}{a-b}=\frac{11}{5}.$$ Multiplicamos en cruz: $$5(a+b)=11(a-b).$$ Desarrollamos: $$5a+5b=11a-11b.$$ Pasamos términos: $$5a-11a=-11b-5b\Rightarrow -6a=-16b\Rightarrow 6a=16b.$$ Simplificamos: $$\boxed{a=\frac{8}{3}b}.$$ 💡 **Tip:** En proporciones, lo más seguro es “multiplicar en cruz” y luego ordenar términos.

De la ecuación 2: $$a-c=2b\Rightarrow c=a-2b.$$ Sustituimos en la ecuación 3: $$2(b+c)=a+2\Rightarrow 2\big(b+(a-2b)\big)=a+2.$$ Simplificamos dentro del paréntesis: $$b+a-2b=a-b.$$ Entonces: $$2(a-b)=a+2\Rightarrow 2a-2b=a+2\Rightarrow a-2b=2.$$ Así obtenemos: $$\boxed{a=2b+2}.$$ 💡 **Tip:** Cuando aparece “excede en 2”, suele traducirse como “= (algo) + 2”.

Tenemos dos expresiones de $a$ en función de $b$: $$a=\frac{8}{3}b\quad\text{y}\quad a=2b+2.$$ Igualamos: $$\frac{8}{3}b=2b+2.$$ Pasamos $2b$ al primer miembro (con denominador común 3): $$\frac{8}{3}b-2b=2\Rightarrow \frac{8}{3}b-\frac{6}{3}b=2\Rightarrow \frac{2}{3}b=2.$$ Multiplicamos por $\frac{3}{2}$: $$b=3.$$ Ahora: $$a=2b+2=2\cdot 3+2=8.$$ Y de $c=a-2b$: $$c=8-2\cdot 3=2.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{a=8,\quad b=3,\quad c=2}$$ 💡 **Tip:** Revisa al final sustituyendo en (3): $2(b+c)=2(3+2)=10$ y $a+2=8+2=10$ ✅