Análisis 2024 Canarias
Área entre parábolas y presupuesto: intersecciones, integral y coste por m²
1B. El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas:
$$y=x(3-x)\quad \text{e}\quad y=x^2-7x+8$$
donde la unidad de medida es el metro.
Representar un esbozo de la base metálica y calcular el presupuesto de su construcción si el precio del m² del material para construir la base metálica fuera de 65 €.
Paso 1
Reescribir las funciones y hallar los puntos de corte
Definimos:
$$y_1=x(3-x)=3x-x^2,\qquad y_2=x^2-7x+8.$$
Los puntos de corte se obtienen resolviendo $y_1=y_2$:
$$3x-x^2=x^2-7x+8$$
$$-2x^2+10x-8=0$$
Multiplicamos por $-1$ y simplificamos:
$$2x^2-10x+8=0\Rightarrow x^2-5x+4=0$$
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0.$$
Por tanto:
$$\boxed{x=1\ \text{y}\ x=4}$$
Los puntos son:
$$y_1(1)=3-1=2\Rightarrow (1,2),\qquad y_1(4)=12-16=-4\Rightarrow (4,-4).$$
💡 **Tip:** Para el área entre curvas, lo esencial es: (1) puntos de corte y (2) cuál está arriba en el intervalo.
Paso 2
Decidir cuál parábola está por encima entre 1 y 4
Probamos un valor intermedio, por ejemplo $x=2$:
$$y_1(2)=3\cdot2-2^2=6-4=2,$$
$$y_2(2)=2^2-7\cdot2+8=4-14+8=-2.$$
Como $y_1(2)>y_2(2)$, en el intervalo $[1,4]$ la curva superior es $y_1$.
✅ En $[1,4]$:
$$\boxed{y_1\ \text{está arriba y}\ y_2\ \text{abajo}}$$
💡 **Tip:** Con una sola comprobación interior suele bastar (si son parábolas y solo se cortan en dos puntos).
Paso 3
Esbozo de la región (interactivo visual)
💡 **Tip:** El esbozo solo debe mostrar: puntos de corte, cuál está arriba y el intervalo en x.
Paso 4
Calcular el área encerrada entre las parábolas
El área pedida es:
$$A=\int_{1}^{4}\big(y_1-y_2\big)\,dx=\int_{1}^{4}\big((3x-x^2)-(x^2-7x+8)\big)\,dx.$$
Simplificamos el integrando:
$$(3x-x^2)-(x^2-7x+8)=-2x^2+10x-8.$$
Integramos:
$$\int(-2x^2+10x-8)dx=-\frac{2}{3}x^3+5x^2-8x.$$
Evaluamos de 1 a 4:
- En $x=4$:
$$-\frac{2}{3}\cdot64+5\cdot16-8\cdot4=-\frac{128}{3}+80-32=\frac{16}{3}.$$
- En $x=1$:
$$-\frac{2}{3}+5-8=-\frac{11}{3}.$$
Área:
$$A=\frac{16}{3}-\left(-\frac{11}{3}\right)=\frac{27}{3}=9.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{A=9\ \text{m}^2}$$
💡 **Tip:** Si te sale área negativa, es que restaste “abajo − arriba”.
Paso 5
Presupuesto con precio 65 €/m²
El coste total es:
$$\text{Coste}=A\cdot 65=9\cdot 65=585.$$
✅ Presupuesto:
$$\boxed{585\ \text{€}}$$
💡 **Tip:** Las unidades ayudan a no confundirse: si el área está en m² y el precio es €/m², el resultado sale en €.