Función a trozos: continuidad y derivabilidad en 0; recta tangente

Para $x\le 0$: $$f(0)=\frac{0-0+9}{0+3}=3.$$ Para la continuidad en $x=0$ debe cumplirse: $$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{ax}{e^x-1}+2\right)=f(0)=3.$$ Usamos el límite notable: $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=1.$$ Entonces: $$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{ax}{e^x-1}+2\right)=a\cdot 1+2=a+2.$$ Igualando a 3: $$a+2=3\Rightarrow \boxed{a=1}.$$ 💡 **Tip:** Cuando aparece $\dfrac{x}{e^x-1}$ cerca de 0, piensa en el límite notable (o en que $e^x-1\sim x$).

Para que sea derivable en $x=0$ debe cumplirse: $$f'_-(0)=f'_+(0).$$ ### Derivada por la izquierda ($x\le 0$) Sea $$f_1(x)=\frac{x^2-bx+9}{x^2+3}.$$ Con $N=x^2-bx+9$ y $D=x^2+3$: $$f_1'(x)=\frac{N'D-ND'}{D^2},\quad N'=2x-b,\ D'=2x.$$ En $x=0$: $$f_1'(0)=\frac{(-b)\cdot 3-9\cdot 0}{3^2}=\frac{-3b}{9}=-\frac{b}{3}.$$ ### Derivada por la derecha ($x>0$) Sea $$f_2(x)=\frac{ax}{e^x-1}+2.$$ Definimos $g(x)=\dfrac{x}{e^x-1}$. Su desarrollo cerca de 0 es: $$g(x)=1-\frac{x}{2}+O(x^2)\Rightarrow g'(0)=-\frac{1}{2}.$$ Por tanto, $$f_2'(0^+)=a\,g'(0)=-\frac{a}{2}.$$ Igualamos derivadas y usamos que de continuidad ya salió $a=1$: $$-\frac{b}{3}=-\frac{a}{2}\Rightarrow \frac{b}{3}=\frac{a}{2}\Rightarrow b=\frac{3a}{2}.$$ Con $a=1$: $$\boxed{b=\frac{3}{2}}.$$ ✅ Condiciones para continuidad y derivabilidad en $x=0$: $$\boxed{a=1,\quad b=\frac{3}{2}}$$ 💡 **Tip:** Para la derivada en 0 de expresiones tipo $\dfrac{x}{e^x-1}$, el truco rápido es usar la aproximación $\dfrac{x}{e^x-1}=1-\dfrac{x}{2}+\cdots$.

Como $-1\le 0$, usamos el tramo $$f(x)=\frac{x^2-bx+9}{x^2+3}\quad (x\le 0).$$ Con $b=-2$: ### Punto de tangencia $$f(-1)=\frac{(-1)^2-(-2)(-1)+9}{(-1)^2+3}=\frac{1-2+9}{4}=\frac{8}{4}=2.$$ Luego el punto es $(-1,2)$. ### Pendiente La derivada general del tramo izquierdo es: $$f'(x)=\frac{(2x-b)(x^2+3)-(x^2-bx+9)(2x)}{(x^2+3)^2}.$$ En $x=-1$, $b=-2$: - $2x-b=-2-(-2)=0$. - $x^2-bx+9=8$. - $2x=-2$. Entonces el numerador: $$0\cdot 4-8\cdot(-2)=16,$$ y el denominador: $$(1+3)^2=16.$$ Por tanto: $$f'(-1)=\frac{16}{16}=1.$$ ### Recta tangente $$y-2=1(x+1)\Rightarrow \boxed{y=x+3}.$$ 💡 **Tip:** Si el punto está en el tramo $x\le 0$, no necesitas estudiar el otro tramo para hallar la tangente.