Binomial en un juego de ruleta: mayoría de éxitos e intervalo de victorias

En una tirada se gana si sale un número **par** entre 1 y 25. Hay 12 pares: 2,4,6,...,24, por tanto $$p=P(\text{ganar})=\frac{12}{25}=0{,}48,\qquad q=1-p=0{,}52.$$ Si se juega $n$ veces de forma independiente, el número de victorias $X$ sigue: $$\boxed{X\sim\operatorname{Bin}(n,p)}$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre primero $p$ (éxito por intento). Luego, “n intentos” ⇒ binomial.

**a)** Con $n=100$: $$X\sim\operatorname{Bin}(100,0{,}48),\qquad \mu=np=48,\qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot0{,}48\cdot0{,}52}\approx 4{,}996.$$ “Más de la mitad” significa: $$P(X>50)=P(X\ge 51).$$ Aproximación normal (válida porque $np=48\ge 5$ y $nq=52\ge 5$) con **corrección por continuidad**: $$P(X\ge 51)\approx P\big(Y\ge 50{,}5\big),\quad Y\sim N(48,\,4{,}996^2).$$ Tipificamos: $$z=\frac{50{,}5-48}{4{,}996}\approx 0{,}5004.$$ Entonces: $$P(X\ge 51)\approx 1-\Phi(0{,}5004)\approx 0{,}3084.$$ ✅ Resultado (aprox.): $$\boxed{P(X>50)\approx 0{,}308}$$ (Referencia: cálculo binomial exacto $\approx 0{,}3082$.) 💡 **Tip:** En binomial, para colas y intervalos, la corrección $\pm0{,}5$ suele mejorar bastante el resultado.

**b)** Con $n=200$: $$X\sim\operatorname{Bin}(200,0{,}48),\qquad \mu=np=96,\qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{200\cdot0{,}48\cdot0{,}52}\approx 7{,}065.$$ Queremos: $$P(90\le X\le 110).$$ Normal con corrección por continuidad: $$P(90\le X\le 110)\approx P(89{,}5\le Y\le 110{,}5),\quad Y\sim N(96,\,7{,}065^2).$$ Tipificamos: $$z_1=\frac{89{,}5-96}{7{,}065}\approx -0{,}920,\qquad z_2=\frac{110{,}5-96}{7{,}065}\approx 2{,}052.$$ Entonces: $$P(90\le X\le 110)\approx \Phi(2{,}052)-\Phi(-0{,}920)\approx 0{,}801.$$ Comparamos con $\frac{3}{4}=0{,}75$: $$0{,}801>0{,}75.$$ ✅ Conclusión: $$\boxed{\text{La afirmación es falsa (la probabilidad es }\approx 0{,}80\text{).}}$$ (Referencia: cálculo binomial exacto $\approx 0{,}8011$.) 💡 **Tip:** Un intervalo bastante amplio alrededor de la media (aquí 96) suele dar probabilidades grandes.