Probabilidad y Estadística 2024 Canarias
Paracaídas en serie: árbol de probabilidad y fiabilidad del sistema
4A. En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0.96, 0.98 y 0.99.
a) [0,5 pts] Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos.
b) [0,75 pts] Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente.
c) [1,25 pts] Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.
Paso 1
Definir sucesos y probabilidades de funcionamiento/fallo
Definimos:
- $A$ = “funciona el paracaídas A” $(\Rightarrow P(A)=0{,}96)$, y $P(A^c)=0{,}04$.
- $B$ = “funciona el paracaídas B” $(\Rightarrow P(B)=0{,}98)$, y $P(B^c)=0{,}02$.
- $C$ = “funciona el paracaídas C” $(\Rightarrow P(C)=0{,}99)$, y $P(C^c)=0{,}01$.
El sistema es **en serie**: solo se intenta $B$ si falla $A$, y solo se intenta $C$ si fallan $A$ y $B$.
💡 **Tip:** En un árbol, cada camino tiene probabilidad igual al **producto** de las ramas recorridas.
Paso 2
a) Árbol de probabilidad con todos los casos
**a) [0,5 pts]** Los casos posibles son:
1) A funciona (no se activa B ni C)
2) A falla y B funciona
3) A falla, B falla y C funciona
4) A falla, B falla y C falla
💡 **Tip:** Asegúrate de que el árbol termina siempre en “éxito” o “fracaso total”; así no se te olvida ningún caso.
Árbol de casos (las probabilidades de cada camino se obtienen multiplicando ramas).
Paso 3
b) Probabilidad de que se active B y funcione
**b) [0,75 pts]** Para que se active B tiene que fallar A. Y además B debe funcionar.
Evento: $A^c\cap B$.
$$P(A^c\cap B)=P(A^c)\,P(B)=0{,}04\cdot 0{,}98=0{,}0392.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(\text{se activa B y funciona})=0{,}0392}$$
💡 **Tip:** “Se activa B” equivale a “A falla”. Luego solo multiplicas por “B funciona”.
Paso 4
c) Probabilidad de que funcione algún paracaídas
**c) [1,25 pts]** “Que funcione algún paracaídas” es el complementario de “fallan los tres”.
Fallo total:
$$P(A^c\cap B^c\cap C^c)=0{,}04\cdot 0{,}02\cdot 0{,}01=0{,}000008.$$
Entonces:
$$P(\text{funciona alguno})=1-0{,}000008=0{,}999992.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(\text{funciona algún paracaídas})=0{,}999992\ \approx 99{,}9992\%}$$
💡 **Tip:** En sistemas en serie, suele ser más rápido calcular “fracaso total” y restar a 1.