Geometría analítica 3D: recta paralela, intersección con plano, ángulo recta-plano, rectas alabeadas y plano paralelo

Recta $$r:\begin{cases}3x+2y-z=1\\2x-y+z+4=0\end{cases}$$ Tiene normales $\vec n_1=(3,2,-1)$ y $\vec n_2=(2,-1,1)$, así que un vector director es $$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=(1,-5,-7).$$ Buscamos un punto de $r$. De $2x-y+z=-4$ y $3x+2y-z=1$: Sumando ambas ecuaciones: $$5x+y=-3\Rightarrow y=-3-5x.$$ Sustituyendo en $2x-y+z=-4$: $$2x-(-3-5x)+z=-4\Rightarrow 7x+z=-7\Rightarrow z=-7-7x.$$ Tomando $x=t$: $$r:(x,y,z)=(0,-3,-7)+t(1,-5,-7).$$ La recta $$s:\begin{cases}x=3+\lambda\\y=\lambda\\z=1+\lambda\end{cases}$$ queda: $$s:(x,y,z)=(3,0,1)+\lambda(1,1,1),\quad \vec v_s=(1,1,1).$$ 💡 **Tip:** Para posición relativa, conviene tener (punto, vector) de cada recta.

1) **No son paralelas** porque $\vec v_r=(1,-5,-7)$ no es proporcional a $\vec v_s=(1,1,1)$. 2) Probamos si **se cortan** resolviendo: $$(0,-3,-7)+t(1,-5,-7)=(3,0,1)+\lambda(1,1,1).$$ De la coordenada $x$: $t=3+\lambda\Rightarrow \lambda=t-3$. En $y$: $$-3-5t=\lambda=t-3\Rightarrow -3-5t=t-3\Rightarrow -6t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow \lambda=-3.$$ Comprobamos en $z$: $$-7-7(0)=-7\neq 1+(-3)=-2,$$ por tanto **no se cortan**. 3) Comprobación de coplanaridad (producto mixto). Con $$R_0=(0,-3,-7),\ S_0=(3,0,1),\ \vec w=S_0-R_0=(3,3,8),$$ calculamos $$\vec v_r\times\vec v_s=(1,-5,-7)\times(1,1,1)=(2,-8,6).$$ Producto mixto: $$\vec w\cdot(\vec v_r\times\vec v_s)=(3,3,8)\cdot(2,-8,6)=6-24+48=30\neq 0.$$ ✅ Conclusión: $$\boxed{r\ \text{y}\ s\ \text{son alabeadas (cruzadas, no coplanarias).}}$$ 💡 **Tip:** Si no son paralelas y no se cortan, solo queda decidir si son coplanarias; el producto mixto $\neq 0$ lo descarta.

Un plano que **contiene** a $s$ y es **paralelo** a $r$ debe contener dos direcciones no paralelas: - $\vec v_s=(1,1,1)$ (dirección de $s$) - $\vec v_r=(1,-5,-7)$ (dirección paralela a $r$) Por tanto, un vector normal del plano es: $$\vec n=\vec v_s\times\vec v_r=(1,1,1)\times(1,-5,-7)=(-2,8,-6)\sim (1,-4,3).$$ Tomamos un punto de $s$, por ejemplo $S_0=(3,0,1)$, y escribimos la ecuación del plano: $$(1,-4,3)\cdot\big((x,y,z)-(3,0,1)\big)=0.$$ $$ (x-3)-4(y-0)+3(z-1)=0\Rightarrow x-4y+3z-6=0.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{\pi: x-4y+3z-6=0}$$ 💡 **Tip:** Verificación rápida: comprueba que $S_0$ satisface el plano y que $\vec v_r\cdot\vec n=0$ (así el plano es paralelo a $r$).