Geometría analítica 3D: recta paralela, intersección con plano, ángulo recta-plano, rectas alabeadas y plano paralelo

La recta $$r:\begin{cases}x+y-1=0\\x+z+1=0\end{cases}$$ es intersección de dos planos con normales: $$\vec n_1=(1,1,0),\qquad \vec n_2=(1,0,1).$$ Un vector director de la recta intersección es: $$\vec v_r=\vec n_1\times \vec n_2=(1,-1,-1).$$ 💡 **Tip:** Si una recta está dada como intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de las normales de esos planos.

Como $s\parallel r$ y pasa por $P(-7,3,4)$, tiene el mismo vector director: $$s:(x,y,z)=(-7,3,4)+t(1,-1,-1).$$ Luego: $$x=-7+t,\quad y=3-t,\quad z=4-t.$$ Intersecamos con el plano $\pi: x+2y-5z+5=0$: $$(-7+t)+2(3-t)-5(4-t)+5=0$$ $$-7+t+6-2t-20+5t+5=0$$ $$4t-16=0\Rightarrow t=4.$$ Entonces el punto de corte es: $$A=(-7+4,\ 3-4,\ 4-4)=(-3,-1,0).$$ ✅ Resultado: $$\boxed{A(-3,-1,0)}$$ 💡 **Tip:** Para hallar una intersección “recta-plano”, parametriza la recta y sustituye en la ecuación del plano.

El plano $\pi: x+2y-5z+5=0$ tiene normal: $$\vec n_\pi=(1,2,-5).$$ El ángulo $\alpha$ entre una recta (dirección $\vec v$) y un plano (normal $\vec n$) cumple: $$\sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{\|\vec v\|\,\|\vec n\|}.$$ Con $\vec v_r=(1,-1,-1)$: $$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=1\cdot1+(-1)\cdot2+(-1)\cdot(-5)=1-2+5=4.$$ $$\|\vec v_r\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt3,\qquad \|\vec n_\pi\|=\sqrt{1^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{30}.$$ Entonces: $$\sin\alpha=\frac{4}{\sqrt3\,\sqrt{30}}=\frac{4}{\sqrt{90}}=\frac{4}{3\sqrt{10}}.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{\alpha=\arcsin\left(\frac{4}{3\sqrt{10}}\right)\approx 25{,}0^\circ}$$ 💡 **Tip:** Si calculas el ángulo entre $\vec v$ y $\vec n$, ese es el ángulo recta-normal; el ángulo recta-plano es el complementario. La fórmula con $\sin$ evita ese paso.