Sistema matricial y sistema lineal con parámetro: discusión y resolución

El sistema es: $$\begin{cases} kx+y-3z=5\\ -x+y+z=-4\\ kx+y-kz=1 \end{cases}$$ Matriz de coeficientes: $$M=\begin{pmatrix}k&1&-3\\-1&1&1\\k&1&-k\end{pmatrix}.$$ Determinante: $$\det(M)=-(k-3)(k+1).$$ Por tanto: - Si $k\neq 3$ y $k\neq -1$ entonces $\det(M)\neq 0$ ⇒ **única solución**. - Si $k=3$ o $k=-1$ entonces $\det(M)=0$ ⇒ hay que estudiar compatibilidad. 💡 **Tip:** En discusión de sistemas, el determinante te dice si hay solución única (det ≠ 0) o si debes analizar casos especiales (det = 0).

**Caso $k=3$**: Las ecuaciones 1 y 3 tienen el mismo lado izquierdo: $$3x+y-3z=5,\qquad 3x+y-3z=1.$$ Son contradictorias ⇒ **no hay solución**. **Caso $k=-1$**: Las ecuaciones 2 y 3 tienen el mismo lado izquierdo: $$-x+y+z=-4,\qquad -x+y+z=1.$$ Contradicción ⇒ **no hay solución**. ✅ Conclusión de la discusión: - $k\neq 3,\,-1$ ⇒ **SCD** (solución única). - $k=3$ o $k=-1$ ⇒ **SI** (sin solución). 💡 **Tip:** Si dos ecuaciones tienen el mismo lado izquierdo pero distinto término independiente, el sistema es automáticamente incompatible.

Para $k=4$ el sistema es: $$\begin{cases} 4x+y-3z=5\\ -x+y+z=-4\\ 4x+y-4z=1 \end{cases}$$ Restamos (1) − (3): $$(4x+y-3z)-(4x+y-4z)=5-1\Rightarrow z=4.$$ Sustituimos en (2): $$-x+y+4=-4\Rightarrow -x+y=-8\Rightarrow y=x-8.$$ Sustituimos en (3): $$4x+(x-8)-4\cdot 4=1\Rightarrow 5x-8-16=1\Rightarrow 5x=25\Rightarrow x=5.$$ Entonces: $$y=5-8=-3.$$ ✅ Solución para $k=4$: $$\boxed{(x,y,z)=(5,\,-3,\,4)}$$ 💡 **Tip:** Cuando hay dos ecuaciones muy parecidas (aquí (1) y (3)), restarlas suele dar una variable “directa” (aquí $z$).