Sistema matricial: resolución y matrices incógnitas (2A)

En el sistema matricial las incógnitas son las matrices $X$ e $Y$ (del mismo tamaño que los términos de la derecha, es decir, $2\times 3$). Definimos: $$A=\begin{pmatrix}5&6&-1\\4&-5&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4&2&2\\6&-4&-2\end{pmatrix}.$$ El sistema es: $$\begin{cases}5X-4Y=A\\4X-6Y=B\end{cases}$$ 💡 **Tip:** Estos sistemas se resuelven como si $X$ e $Y$ fueran números: puedes sumar, restar y multiplicar por escalares (coeficientes).

Eliminamos $Y$ igualando coeficientes: Multiplicamos la primera ecuación por 3: $$15X-12Y=3A.$$ Multiplicamos la segunda por 2: $$8X-12Y=2B.$$ Restamos (primera − segunda): $$7X=3A-2B\Rightarrow X=\frac{3A-2B}{7}.$$ Calculamos: $$3A=\begin{pmatrix}15&18&-3\\12&-15&3\end{pmatrix},\qquad 2B=\begin{pmatrix}8&4&4\\12&-8&-4\end{pmatrix}.$$ Entonces: $$3A-2B=\begin{pmatrix}7&14&-7\\0&-7&7\end{pmatrix}.$$ Dividimos entre 7: $$\boxed{X=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Si aparece un factor común (aquí 7), simplifica antes de dividir para evitar errores de signos.

Usamos $5X-4Y=A$: $$-4Y=A-5X\Rightarrow Y=\frac{5X-A}{4}.$$ Calculamos: $$5X=\begin{pmatrix}5&10&-5\\0&-5&5\end{pmatrix}.$$ Entonces: $$5X-A=\begin{pmatrix}5-5&10-6&-5-(-1)\\0-4&-5-(-5)&5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4&-4\\-4&0&4\end{pmatrix}.$$ Dividimos entre 4: $$\boxed{Y=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$$ ✅ **Solución 2A:** $$\boxed{X=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Al final, una comprobación rápida es calcular $4X-6Y$ y ver si sale $B$.