Análisis 2024 Canarias
Función logarítmica racional: parámetro por condición de tangencia y estudio de dominio y asíntotas
1B. Dada la función definida por: $f(x)=\dfrac{\ln(x+2)+a}{3x+4}$
a) [1,25 pts] Determinar el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es 10. Dar la expresión de la función.
b) [1,25 pts] Para el valor $a=0$, estudiar el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$.
Paso 1
Apartado a) Derivar f(x) y usar la condición f'(-1)=10
Partimos de
$$f(x)=\frac{\ln(x+2)+a}{3x+4}.$$
Derivamos con la regla del cociente. Si $N(x)=\ln(x+2)+a$ y $D(x)=3x+4$, entonces:
$$f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2}.$$
Como $N'(x)=\frac{1}{x+2}$ y $D'(x)=3$:
$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x+2}(3x+4)-3(\ln(x+2)+a)}{(3x+4)^2}.$$
Evaluamos en $x=-1$:
- $x+2=1\Rightarrow \ln(1)=0$.
- $3x+4=1$.
Así:
$$f'(-1)=\frac{1\cdot 1-3(0+a)}{1^2}=1-3a.$$
Imponemos la pendiente 10:
$$1-3a=10\Rightarrow -3a=9\Rightarrow a=-3.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{a=-3}$$
Por tanto, la función queda:
$$\boxed{f(x)=\frac{\ln(x+2)-3}{3x+4}}$$
💡 Tip: En $x=-1$ el denominador vale 1 y $\ln(1)=0$, así que sustituir simplifica mucho el cálculo.
Paso 2
Apartado b) Para a=0: dominio de f(x)
Para $a=0$:
$$f(x)=\frac{\ln(x+2)}{3x+4}.$$
Restricciones:
1) Logaritmo: $x+2>0\Rightarrow x>-2$.
2) Denominador: $3x+4\neq 0\Rightarrow x\neq -\frac{4}{3}$.
✅ Dominio:
$$\boxed{\mathrm{Dom}(f)=(-2,\infty)\setminus\left\{-\frac{4}{3}\right\}}$$
💡 Tip: En funciones con $\ln(\cdot)$ y fracciones, el dominio se obtiene imponiendo simultáneamente “argumento del logaritmo positivo” y “denominador distinto de 0”.
Paso 3
Apartado b) Asíntotas verticales y horizontal
Seguimos con $f(x)=\dfrac{\ln(x+2)}{3x+4}$.
### Asíntotas verticales
- En $x=-2$ (frontera del dominio):
$$\lim_{x\to -2^+} \ln(x+2)=-\infty,\qquad \lim_{x\to -2^+}(3x+4)=-2.$$
Luego:
$$\lim_{x\to -2^+} f(x)=\frac{-\infty}{-2}=+\infty\Rightarrow \boxed{x=-2\ \text{es asíntota vertical}}.$$
- En $x=-\frac{4}{3}$ (anula el denominador):
$$\ln\left(-\frac{4}{3}+2\right)=\ln\left(\frac{2}{3}\right)<0\quad (\text{finito}).$$
Como $3x+4\to 0$:
$$\boxed{x=-\frac{4}{3}\ \text{es asíntota vertical}}.$$
(Además, $\lim_{x\to (-4/3)^-} f(x)=+\infty$ y $\lim_{x\to (-4/3)^+} f(x)=-\infty$.)
### Asíntota horizontal
Para $x\to +\infty$:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+2)}{3x+4}=0,$$
porque $\ln(x)$ crece mucho más lento que $x$.
✅ Asíntota horizontal:
$$\boxed{y=0}$$
💡 Tip: Para asíntotas verticales, revisa (i) frontera del dominio del logaritmo y (ii) ceros del denominador.