Análisis 2024 Canarias
Costes de producción y función racional (1A)
1A. La empresa 'Plátanos Islas Canarias' se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función:
$$C(x)=\frac{3x}{5\sqrt{x^2+1}},\ x\ge 0$$
donde $C(x)$ son miles de €, $x$ miles de kilos de plátanos producidos. Responder a las siguientes preguntas.
a) [0,5 pts] Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos.
b) [0,5 pts] Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos?
c) [0,75 pts] Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuiría. Justificar la veracidad de la afirmación del economista.
d) [0,75 pts] Calcular $\displaystyle\int_{0}^{4} C'(x)\,dx$. Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Paso 1
1A-a) Coste de producir 1 kilo
**a) [0,5 pts]** Como $x$ está en *miles de kilos*, producir **1 kg** corresponde a $x=0{,}001$.
El coste viene en *miles de euros*, así que primero calculamos $C(0{,}001)$ y luego pasamos a euros.
$$C(0{,}001)=\frac{3\cdot 0{,}001}{5\sqrt{(0{,}001)^2+1}}\approx 0{,}0005999997\ \text{(miles de €)}.$$
En euros:
$$0{,}0005999997\times 1000\approx 0{,}60\ \text{€}.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\text{Coste de producir 1 kg} \approx 0{,}60\ \text{€}}$$
💡 **Tip:** Si $C$ está en miles de € y $x$ en miles de kg, al pasar a unidades “normales” hay que convertir ambas magnitudes (aquí solo pedimos el coste total de 1 kg).
Paso 2
1A-b) Límite del coste para producciones muy grandes
**b) [0,5 pts]** Calculamos el límite cuando $x\to +\infty$:
$$\lim_{x\to\infty} \frac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{5|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$$
Como $x\ge 0$, $|x|=x$:
$$=\lim_{x\to\infty}\frac{3}{5\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{3}{5}=0{,}6.$$
Esto son **miles de euros**.
✅ Resultado:
$$\boxed{\lim_{x\to\infty} C(x)=0{,}6\ \text{(miles de €)}=600\ \text{€}}$$
💡 **Tip:** Cuando aparece $\sqrt{x^2+1}$, suele convenir factorizar $x$ dentro de la raíz para calcular límites en infinito.
Esquema: $C(x)$ es creciente y tiene asíntota horizontal $y=0{,}6$ (miles de €).
Paso 3
1A-c) Monotonía: ¿llega a disminuir el coste?
**c) [0,75 pts]** Estudiamos el signo de $C'(x)$.
$$C(x)=\frac{3}{5}\,x\,(x^2+1)^{-\tfrac12}.$$
Derivamos:
$$C'(x)=\frac{3}{5}\Big[(x^2+1)^{-\tfrac12}+x\cdot\Big(-\tfrac12\Big)(x^2+1)^{-\tfrac32}\cdot 2x\Big]$$
$$=\frac{3}{5}\Big[(x^2+1)^{-\tfrac12}-x^2(x^2+1)^{-\tfrac32}\Big]$$
$$=\frac{3}{5}\cdot\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}.$$
Como $(x^2+1)^{3/2}>0$, se tiene:
$$C'(x)>0\quad\forall x\ge 0.$$
✅ Conclusión:
$$\boxed{C\ \text{es estrictamente creciente en }[0,\infty)\Rightarrow\ \text{no disminuye.}}$$
💡 **Tip:** Para rebatir afirmaciones sobre “disminuir”, basta justificar que la derivada nunca es negativa.
Paso 4
1A-d) Integral de la derivada e interpretación
**d) [0,75 pts]** Por el Teorema Fundamental del Cálculo:
$$\int_{0}^{4} C'(x)\,dx=C(4)-C(0).$$
Calculamos:
$$C(0)=0,$$
$$C(4)=\frac{3\cdot 4}{5\sqrt{4^2+1}}=\frac{12}{5\sqrt{17}}\approx 0{,}5821\ \text{(miles de €)}.$$
Luego:
$$\int_{0}^{4} C'(x)\,dx\approx 0{,}5821\ \text{(miles de €)}\approx 582{,}1\ \text{€}.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\int_{0}^{4} C'(x)\,dx=\frac{12}{5\sqrt{17}}\approx 0{,}5821\ \text{miles de €}}$$
🧠 **Interpretación:** es el **incremento total del coste** al pasar de producir $0$ a producir $4$ miles de kilos (es decir, de 0 a 4000 kg).
💡 **Tip:** Integrar una derivada en un intervalo siempre da un “cambio neto” de la función.