Probabilidad y Estadística 2024 Castilla la Mancha
Probabilidad total, Teorema de Bayes y Distribución Normal
8.
a) En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60% juega al tenis, el 25% practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21% de los socios que juegan al tenis, el 30% de los que practican natación y el 12% de los que practican el golf.
a.1) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.
a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.
b) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.
b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?
b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a.1) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.**
Primero definimos los sucesos según el enunciado:
- $T$: El socio juega al tenis.
- $N$: El socio practica natación.
- $G$: El socio practica golf.
- $P$: El socio ha obtenido algún premio.
- $\bar{P}$: El socio no ha obtenido ningún premio.
Datos de participación:
- $P(T) = 0.60$
- $P(N) = 0.25$
- $P(G) = 1 - (0.60 + 0.25) = 0.15$
Datos de premios (probabilidades condicionadas):
- $P(P|T) = 0.21$
- $P(P|N) = 0.30$
- $P(P|G) = 0.12$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de obtener un premio, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(P) = P(T) \cdot P(P|T) + P(N) \cdot P(P|N) + P(G) \cdot P(P|G)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(P) = 0.60 \cdot 0.21 + 0.25 \cdot 0.30 + 0.15 \cdot 0.12$$
$$P(P) = 0.126 + 0.075 + 0.018$$
$$P(P) = 0.219$$
💡 **Tip:** La suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre 1. Por eso calculamos $P(G) = 1 - 0.60 - 0.25 = 0.15$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(P) = 0.219}$$
Paso 3
Cálculo mediante el Teorema de Bayes
**a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.**
Nos piden calcular una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad de que practique natación dado que ya sabemos que ha obtenido un premio: $P(N|P)$.
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(N|P) = \frac{P(N) \cdot P(P|N)}{P(P)}$$
Utilizamos el valor de $P(P)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(N|P) = \frac{0.25 \cdot 0.30}{0.219}$$
$$P(N|P) = \frac{0.075}{0.219}$$
$$P(N|P) \approx 0.3425$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes relaciona la probabilidad condicionada de un suceso con su inversa. Siempre es la probabilidad de 'la rama' dividida por la 'probabilidad total'.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N|P) = \frac{75}{219} \approx 0.3425}$$
Paso 4
Tipificación de la variable normal
**b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?**
Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo invertido en recorrer 5 km.
El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu=60, \sigma=8)$.
Para calcular probabilidades en una normal, debemos **tipificar** la variable para pasar a una $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X \lt 50) = P\left(Z \lt \frac{50 - 60}{8}\right)$$
$$P(X \lt 50) = P(Z \lt -1.25)$$
Como la distribución normal es simétrica:
$$P(Z \lt -1.25) = P(Z \gt 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25)$$
Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor para $1.25$:
$P(Z \le 1.25) = 0.8944$
Por tanto:
$$P(X \lt 50) = 1 - 0.8944 = 0.1056$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \lt 50) = 0.1056}$$
Paso 5
Cálculo de probabilidad en un intervalo
**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?**
Debemos calcular $P(50 \lt X \lt 66)$. Tipificamos ambos límites del intervalo:
$$P(50 \lt X \lt 66) = P\left(\frac{50 - 60}{8} \lt Z \lt \frac{66 - 60}{8}\right)$$
$$P(50 \lt X \lt 66) = P(-1.25 \lt Z \lt 0.75)$$
Esta probabilidad se calcula restando las funciones de distribución:
$$P(-1.25 \lt Z \lt 0.75) = P(Z \lt 0.75) - P(Z \lt -1.25)$$
Ya conocemos $P(Z \lt -1.25) = 0.1056$ del apartado anterior.
Buscamos en la tabla el valor para $0.75$:
$P(Z \le 0.75) = 0.7734$
Sustituimos:
$$P(50 \lt X \lt 66) = 0.7734 - 0.1056 = 0.6678$$
💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier intervalo $(a, b)$, $P(a \lt X \lt b) = P(X \lt b) - P(X \lt a)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(50 \lt X \lt 66) = 0.6678}$$