Matriz inversa y recta perpendicular en el espacio

**a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.** Para que una matriz $A$ coincida con su inversa $A^{-1}$, se debe cumplir la definición de matriz inversa: $$A \cdot A^{-1} = I$$ Si imponemos la condición $A = A^{-1}$, la igualdad anterior se convierte en: $$A \cdot A = I \implies A^2 = I$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 2, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Una matriz que es su propia inversa se denomina **matriz involutiva**.

Calculamos el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot a + 1 \cdot 1 & a \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot a + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 1 & a \\ a & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora igualamos este resultado a la matriz identidad: $$\begin{pmatrix} a^2 + 1 & a \\ a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben serlo. Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $a^2 + 1 = 1 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$ 2. $a = 0$ 3. $a = 0$ 4. $1 = 1$ La única solución común a todas las ecuaciones es **$a = 0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

Si $a = 0$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Su determinante es $|A| = (0 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1$. Como $|A| \neq 0$, la matriz tiene inversa. Calculando la inversa de $A$ por el método de la adjunta: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A$$ Esto confirma que para **$a = 0$**, la matriz y su inversa coinciden.

**b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1, 0, 0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 0)$.** Llamamos $r$ a la recta buscada. Para definir una recta en el espacio necesitamos un punto $P$ y un vector director $\vec{d}_r$. - El punto es $P = A(1, 0, 0)$. - El vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Por tanto, podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial** de ambos: $$\vec{d}_r = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante desarrollando por la tercera fila (que tiene más ceros): $$\vec{d}_r = 1 \cdot \begin{vmatrix} \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) = (0, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ siempre devuelve un vector perpendicular a los dos vectores originales.

Con el punto $P(1, 0, 0)$ y el vector director $\vec{d}_r = (0, 1, -2)$, escribimos las ecuaciones de la recta. **Ecuación paramétrica:** $$\begin{cases} x = 1 + 0\lambda \\ y = 0 + 1\lambda \\ z = 0 - 2\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ **Ecuación continua:** Como la componente $x$ del vector director es $0$, la expresión sería: $$x = 1, \quad \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$$ Podemos expresarla también como intersección de dos planos: $$\begin{cases} x = 1 \\ 2y + z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}}$$