Análisis de funciones y cálculo de probabilidades

**a) [1 punto] Calcula los coeficientes $a, b, c \in \mathbb{R}$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$ y un punto de inflexión en $P(1, 2)$. Justifica tu respuesta.** Para resolver este apartado, necesitamos usar la información sobre las derivadas de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: 1. La primera derivada para los extremos relativos: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$. 2. La segunda derivada para los puntos de inflexión: $f''(x) = 6x + 2a$. Las condiciones dadas son: - **Extremo relativo en $x = 2$:** Esto significa que la pendiente de la recta tangente es cero en ese punto, es decir, $f'(2) = 0$. - **Punto de inflexión en $P(1, 2)$:** Esto implica dos cosas: - La función pasa por el punto: $f(1) = 2$. - En un punto de inflexión, la segunda derivada se anula: $f''(1) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que un extremo relativo implica $f'(x)=0$ y un punto de inflexión implica $f''(x)=0$ (y cambio de signo, que en este tipo de ejercicios suele darse por hecho).

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener un sistema de ecuaciones: 1. **Usando $f''(1) = 0$:** $$6(1) + 2a = 0 \implies 2a = -6 \implies \mathbf{a = -3}$$ 2. **Usando $f'(2) = 0$ con $a = -3$:** $$3(2)^2 + 2a(2) + b = 0 \implies 12 + 4a + b = 0$$ Sustituyendo $a = -3$: $$12 + 4(-3) + b = 0 \implies 12 - 12 + b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$ 3. **Usando $f(1) = 2$ con $a = -3$ y $b = 0$:** $$1^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 2 \implies 1 + a + b + c = 2$$ Sustituyendo los valores hallados: $$1 - 3 + 0 + c = 2 \implies -2 + c = 2 \implies \mathbf{c = 4}$$ ✅ **Resultado (coeficientes):** $$\boxed{a = -3, \quad b = 0, \quad c = 4}$$ La función es $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$.

**b.1) [0,75 puntos] $P(B)$ y $P(A \cap \bar{B})$, con $\bar{B}$ el suceso complementario de $B$.** Para calcular $P(B)$, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los datos conocidos: $$0,3 = 0,2 + P(B) - 0,1$$ $$0,3 = 0,1 + P(B) \implies P(B) = 0,3 - 0,1 = 0,2$$ Ahora, para calcular $P(A \cap \bar{B})$, utilizamos la propiedad del suceso diferencia (lo que está en A pero no en B): $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap \bar{B}) = 0,2 - 0,1 = 0,1$$ 💡 **Tip:** Visualizar los datos en una tabla de contingencia ayuda a no cometer errores en las restas básicas.

Podemos resumir toda la información en la siguiente tabla de probabilidad: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline A & 0,1 & 0,1 & 0,2 \\ \bar{A} & 0,1 & 0,7 & 0,8 \\\hline \text{Total} & 0,2 & 0,8 & 1,0 \end{array}$$ ✅ **Resultados b.1:** $$\boxed{P(B) = 0,2} \quad \text{y} \quad \boxed{P(A \cap \bar{B}) = 0,1}$$

**b.2) [0,75 puntos] $P(A \mid B)$ y $P(B \mid A)$.** Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$$ Calculamos $P(A \mid B)$: $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$$ Calculamos $P(B \mid A)$: $$P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$$ 💡 **Tip:** No olvides que $P(A \cap B) = P(B \cap A)$. En este caso particular, al ser $P(A) = P(B)$, ambas probabilidades condicionadas resultan ser iguales. ✅ **Resultados b.2:** $$\boxed{P(A \mid B) = 0,5} \quad \text{y} \quad \boxed{P(B \mid A) = 0,5}$$