Integral por cambio de variable y Ángulo entre vectores

**a) [1 punto] Calcula la siguiente integral: $\int x \sqrt{2x+3} dx$. Puedes utilizar el cambio de variable $t = \sqrt{2x+3}$.** Siguiendo la sugerencia del enunciado, definimos el cambio de variable: $$t = \sqrt{2x+3}$$ Para facilitar el cálculo de la integral, despejamos $x$ y calculamos el diferencial $dx$: 1. Elevamos al cuadrado: $t^2 = 2x + 3$ 2. Despejamos $x$: $x = \dfrac{t^2 - 3}{2}$ 3. Derivamos ambos lados para obtener $dx$: $2t \, dt = 2 \, dx \implies dx = t \, dt$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable del tipo $t = \sqrt{f(x)}$, suele ser más sencillo despejar $x$ antes de derivar para encontrar $dx$.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la integral original: $$\int x \sqrt{2x+3} \, dx = \int \left( \frac{t^2 - 3}{2} \right) \cdot t \cdot (t \, dt)$$ Simplificamos la expresión antes de integrar: $$\int \frac{t^2(t^2 - 3)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int (t^4 - 3t^2) \, dt$$ Aplicamos las reglas básicas de integración para potencias: $$\frac{1}{2} \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{3t^3}{3} \right] + C = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^5}{5} - t^3 \right] + C = \frac{t^5}{10} - \frac{t^3}{2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq -1$.

Para finalizar el apartado a), debemos volver a la variable original $x$ sustituyendo $t = \sqrt{2x+3}$: $$\frac{(\sqrt{2x+3})^5}{10} - \frac{(\sqrt{2x+3})^3}{2} + C$$ También podemos expresarlo de forma más compacta sacando factor común: $$\frac{(2x+3)^{5/2}}{10} - \frac{(2x+3)^{3/2}}{2} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x \sqrt{2x+3} \, dx = \frac{(2x+3)^2\sqrt{2x+3}}{10} - \frac{(2x+3)\sqrt{2x+3}}{2} + C}$$

**b) [1,5 puntos] Sean los vectores $\vec{u} = (1, a, a)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 2)$, con $a \in \mathbb{R}$. Determina el valor de $a$ para que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea de $60^\circ$.** Utilizamos la definición de producto escalar para relacionar los vectores con el ángulo $\alpha = 60^\circ$: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Calculamos cada elemento por separado: - Producto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-1) + (a)(0) + (a)(2) = -1 + 2a$ - Módulo de $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{1 + 2a^2}$ - Módulo de $\vec{v}$: $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ Como $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, sustituimos en la fórmula: $$\frac{1}{2} = \frac{-1 + 2a}{\sqrt{1 + 2a^2} \cdot \sqrt{5}}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $\vec{x}=(x_1, x_2, x_3)$ e $\vec{y}=(y_1, y_2, y_3)$ es $x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3$.

Para resolver la ecuación, elevamos ambos miembros al cuadrado (teniendo en cuenta que esto puede introducir soluciones falsas que deberemos comprobar): $$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{2a - 1}{\sqrt{5(1 + 2a^2)}} \right)^2$$ $$\frac{1}{4} = \frac{(2a - 1)^2}{5(1 + 2a^2)}$$ Multiplicamos en cruz: $$5(1 + 2a^2) = 4(2a - 1)^2$$ $$5 + 10a^2 = 4(4a^2 - 4a + 1)$$ $$5 + 10a^2 = 16a^2 - 16a + 4$$ Agrupamos términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$6a^2 - 16a - 1 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$a = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(6)(-1)}}{2(6)} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 24}}{12} = \frac{16 \pm \sqrt{280}}{12}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{280} = \sqrt{4 \cdot 70} = 2\sqrt{70}$: $$a = \frac{16 \pm 2\sqrt{70}}{12} = \frac{8 \pm \sqrt{70}}{6}$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado, siempre debemos verificar que el producto escalar original $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2a - 1$ tenga el mismo signo que $\cos(60^\circ)$, es decir, debe ser positivo ($2a - 1 \gt 0 \implies a \gt 1/2$).

Evaluamos las dos posibles soluciones: 1. $a_1 = \dfrac{8 + \sqrt{70}}{6} \approx \dfrac{8 + 8.36}{6} \approx 2.73$ Como $2.73 \gt 0.5$, esta solución es **válida** (el producto escalar es positivo). 2. $a_2 = \dfrac{8 - \sqrt{70}}{6} \approx \dfrac{8 - 8.36}{6} \approx -0.06$ Como $-0.06 \lt 0.5$, esta solución daría un producto escalar negativo ($2a-1 \lt 0$), lo que correspondería a un ángulo de $120^\circ$ en lugar de $60^\circ$. Por tanto, se **descarta**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{8 + \sqrt{70}}{6}}$$