Límite y estudio del rango con parámetros

**a) [1 punto] Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3}$.** Primero evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3} = \frac{e^{+\infty} - 1}{(+\infty)^2 + 3} = \frac{+\infty}{+\infty}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{\infty}{\infty}$**, por lo que podemos aplicar la Regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es una indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $(e^x - 1)' = e^x$ - Denominador: $(x^2 + 3)' = 2x$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x}$$ Al volver a evaluar, obtenemos de nuevo $\frac{e^{+\infty}}{2(+\infty)} = \frac{+\infty}{+\infty}$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2}$$ Finalmente, calculamos el valor del límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2} = \frac{+\infty}{2} = +\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3} = +\infty}$$

**b) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ en función de los valores de $a \in \mathbb{R}$.** La matriz $A$ tiene dimensiones $3 \times 4$. Por lo tanto, el rango máximo posible es **3**. $$rg(A) \le \min(3, 4) = 3$$ Para estudiar el rango, buscaremos el menor de mayor orden posible cuyo determinante sea distinto de cero. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, que coincide con el orden del mayor menor no nulo.

Buscamos un menor de orden 2 que no dependa de $a$ para asegurar que el rango sea al menos 2. Tomamos las columnas 2 y 4 de las filas 2 y 3: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 distinto de cero, podemos afirmar que **$rg(A) \ge 2$** para cualquier valor de $a$.

Para ver si el rango es 3, buscamos un menor de orden 3. Seleccionamos, por ejemplo, las columnas $C_2, C_3$ y $C_4$: $$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna (desarrollamos por la primera fila ya que tiene muchos ceros): $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|M| = -1 \cdot (0 - 1) = 1$$ Como $|M| = 1 \neq 0$, y este valor es independiente del parámetro $a$, el rango de la matriz es siempre 3. 💡 **Tip:** Si encontramos un menor de orden $k$ no nulo que no depende de los parámetros, el rango es al menos $k$ independientemente del valor de dichos parámetros.

Puesto que hemos encontrado un menor de orden 3 cuyo determinante es siempre distinto de cero ($1 \neq 0$), concluimos que las tres filas de la matriz son linealmente independientes para cualquier valor de $a$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{rg(A) = 3 \quad \text{para todo } a \in \mathbb{R}}$$