Geometría en el espacio: Rectas, distancias y áreas

**a) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que representa la viga.** Para definir la ecuación de una recta en el espacio, necesitamos un punto perteneciente a la misma y un vector director. Como la viga tiene como extremos los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(-2, 4, 5)$, podemos usar el vector que los une como vector director $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (-2 - 2, 4 - (-1), 5 - 3) = (-4, 5, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ se calcula restando sus coordenadas: $\vec{PQ} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. $$\boxed{\vec{v}_r = (-4, 5, 2)}$$

Utilizando el punto $A(2, -1, 3)$ y el vector director $\vec{v}_r(-4, 5, 2)$, podemos expresar la recta en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{x - 2}{-4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{2}$$ También se podría expresar en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 2 - 4\lambda \\ y = -1 + 5\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{\frac{x - 2}{-4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{2}}$$

**b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?** La longitud de la viga coincide con la distancia entre los puntos $A$ y $B$, que es el módulo del vector $\vec{AB}$ calculado anteriormente. Recuperamos el vector $\vec{AB} = (-4, 5, 2)$: $$L = |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 2^2}$$ $$L = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45}$$ Podemos simplificar el radical: $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$$ 💡 **Tip:** El módulo de un vector $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ es $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$. Representa la distancia geométrica entre el origen y el final del vector. ✅ **Resultado (Longitud):** $$\boxed{L = 3\sqrt{5} \approx 6,71 \text{ unidades de longitud}}$$

**c) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos $A, B$ y $C(0, 0, 1)$. Determina el área de la placa triangular.** Para hallar el área de un triángulo formado por tres puntos $A$, $B$ y $C$, usamos el producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Ya conocemos $\vec{AB} = (-4, 5, 2)$. Calculamos $\vec{AC}$ con $C(0, 0, 1)$: $$\vec{AC} = C - A = (0 - 2, 0 - (-1), 1 - 3) = (-2, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se calcula como $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. $$\boxed{\vec{AB} = (-4, 5, 2), \quad \vec{AC} = (-2, 1, -2)}$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 5 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\vec{w} = [5 \cdot (-2)]\vec{i} + [2 \cdot (-2)]\vec{j} + [(-4) \cdot 1]\vec{k} - [(-2) \cdot 5\vec{k} + 1 \cdot 2\vec{i} + (-2) \cdot (-4)\vec{j}]$$ $$\vec{w} = (-10\vec{i} - 4\vec{j} - 4\vec{k}) - (-10\vec{k} + 2\vec{i} + 8\vec{j})$$ $$\vec{w} = (-10 - 2)\vec{i} + (-4 - 8)\vec{j} + (-4 + 10)\vec{k}$$ $$\vec{w} = -12\vec{i} - 12\vec{j} + 6\vec{k}$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (-12, -12, 6)}$$

Calculamos el módulo del producto vectorial y dividimos por dos: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 144 + 36} = \sqrt{324}$$ Como $\sqrt{324} = 18$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 9 \text{ unidades cuadradas}}$$