Optimización de la superficie de un envase

**a) [1 punto] Determina la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).** El envase es un prisma de base cuadrada con lado $x$ y altura $y$. El volumen $V$ de un prisma viene dado por el producto del área de la base por la altura: $$V = A_{\text{base}} \cdot h = x^2 \cdot y$$ Como el enunciado nos dice que el volumen debe ser de $1\text{ dm}^3$, establecemos la relación: $$x^2 \cdot y = 1$$ Despejamos la variable $y$ para poder expresar la superficie en función de una única variable ($x$): $$y = \frac{1}{x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el dato fijo (volumen en este caso) nos sirve para encontrar la "ecuación de ligadura" que relaciona las variables.

La superficie total $S$ del envase se compone de dos bases cuadradas y cuatro caras laterales rectangulares: - Área de las dos bases: $2 \cdot x^2$ - Área de las cuatro caras laterales: $4 \cdot (x \cdot y)$ Sumamos ambas partes para obtener la superficie total: $$S = 2x^2 + 4xy$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida anteriormente ($y = \frac{1}{x^2}$): $$S(x) = 2x^2 + 4x \left( \frac{1}{x^2} \right) = 2x^2 + \frac{4}{x}$$ La función buscada es: $$\boxed{S(x) = 2x^2 + \frac{4}{x}}$$

**b) [1 punto] Calcula, razonadamente, los valores de $x$ e $y$, para que la superficie sea mínima.** Para encontrar los extremos de la función, derivamos $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = 4x - \frac{4}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$4x - \frac{4}{x^2} = 0 \implies 4x = \frac{4}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1} = 1\text{ dm}$$ Como $x$ representa una longitud, solo consideramos la solución real positiva. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Aplicando la regla de la cadena o la potencia: $(4x^{-1})' = -4x^{-2} = -4/x^2$.

Para razonar que en $x = 1$ hay un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$S''(x) = (4x - 4x^{-2})' = 4 - 4(-2)x^{-3} = 4 + \frac{8}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 1$: $$S''(1) = 4 + \frac{8}{1^3} = 12 > 0$$ Como la segunda derivada es positiva, confirmamos que existe un **mínimo relativo** en $x = 1$. Calculamos ahora el valor de $y$: $$y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1^2} = 1\text{ dm}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1\text{ dm, } y = 1\text{ dm}}$$

**c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de $5\text{ euros el dm}^2$.** Primero, calculamos el valor de la superficie mínima sustituyendo $x = 1$ en la función $S(x)$: $$S(1) = 2(1)^2 + \frac{4}{1} = 2 + 4 = 6\text{ dm}^2$$ Seguidamente, calculamos el coste total multiplicando la superficie por el precio unitario ($5\text{ €/dm}^2$): $$\text{Coste} = 6\text{ dm}^2 \cdot 5\text{ €/dm}^2 = 30\text{ euros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Superficie} = 6\text{ dm}^2, \text{ Coste} = 30\text{ €}}$$