Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) [1'5 puntos] Discute el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifica el número de soluciones en cada caso.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 & a \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (a^2 + 10 + 4) - (5a + 2a + 4)$$ $$|A| = a^2 + 14 - 7a - 4 = a^2 - 7a + 10$$ 💡 **Tip:** El determinante es la herramienta clave para determinar el rango de la matriz. Si el determinante es distinto de cero, el rango es máximo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores donde el rango de $A$ cambia: $$a^2 - 7a + 10 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(10)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos valores: **$a = 5$** y **$a = 2$**. A partir de aquí, discutiremos tres casos según el valor del parámetro $a$.

Si $a \neq 2$ y $a \neq 5$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas) - Número de incógnitas $= 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, 5: \text{ Sistema Compatible Determinado (Solución única)}}$$

Si $a = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las dos primeras filas tienen los mismos coeficientes en la parte izquierda ($2x+2y+z$), pero distintos términos independientes ($1$ y $2$). Esto indica una contradicción. Formalmente: - Como $|A|=0$, el $\text{rango}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$ de las filas 2 y 3 de $A$ es $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 2-5 = -3 \neq 0$, por lo que **$\text{rango}(A) = 2$**. - Para $A^*$, tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (4+20+4) - (10+8+4) = 28 - 22 = 6 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rango}(A^*) = 3$**. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2: \text{ Sistema Incompatible (No tiene solución)}}$$

Si $a = 5$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera fila y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$). Por tanto, una de ellas es redundante. - Como $|A|=0$, el $\text{rango}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 25 - 4 = 21 \neq 0$, por lo que **$\text{rango}(A) = 2$**. - Como $F_1 = F_3$ en la matriz ampliada, cualquier menor de orden 3 que incluya estas filas será 0. Por tanto, **$\text{rango}(A^*) = 2$**. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 5: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)}}$$

**b) [1 punto] Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a = 1$.** Sustituimos $a = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + 2y + z = 1 & (1) \\ 2x + y + z = 1 & (2) \\ 5x + 2y + z = 1 & (3) \end{cases}$$ Como $a=1$ no es ni 2 ni 5, sabemos que es un **SCD** (solución única). Restamos la ecuación (1) a la ecuación (3) para eliminar $y$ y $z$: $$(5x + 2y + z) - (x + 2y + z) = 1 - 1$$ $$4x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$$ Ahora sustituimos $x=0$ en las ecuaciones (1) y (2): $$\begin{cases} 2y + z = 1 \\ y + z = 1 \end{cases}$$ Restamos estas dos ecuaciones: $$(2y + z) - (y + z) = 1 - 1$$ $$\mathbf{y = 0}$$ Finalmente, sustituimos $y=0$ en $y+z=1$: $$0 + z = 1 \implies \mathbf{z = 1}$$ ✅ **Resultado (solución):** $$\boxed{x = 0, \, y = 0, \, z = 1}$$