Probabilidad Condicionada y Distribución Binomial

**a.1) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de copas.** Primero definimos los sucesos según el dado y la composición de las cajas: - $A$: Elegir la caja A (resultado del dado impar: $\{1, 3, 5\}$). $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. - $B$: Elegir la caja B (resultado del dado 4 o 6: $\{4, 6\}$). $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. - $C$: Elegir la caja C (resultado del dado 2: $\{2\}$). $P(C) = \frac{1}{6}$. - $Co$: Obtener una carta de copas. - $Es$: Obtener una carta de espadas. Contenido de las cajas: - Caja A (5 cartas): 3 copas, 2 espadas $\to P(Co|A) = \frac{3}{5}$. - Caja B (5 cartas): 2 copas, 3 espadas $\to P(Co|B) = \frac{2}{5}$. - Caja C (5 cartas): 1 copa, 4 espadas $\to P(Co|C) = \frac{1}{5}$. Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidades: Para calcular la probabilidad de obtener copas, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(Co) = P(A) \cdot P(Co|A) + P(B) \cdot P(Co|B) + P(C) \cdot P(Co|C)$$ $$P(Co) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5}\right)$$ $$P(Co) = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} + \frac{1}{30}$$ Calculamos el común denominador (30): $$P(Co) = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} + \frac{1}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \approx 0,4667$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Co) = \frac{7}{15} \approx 0,4667}$$

**a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la carta extraída es de copas, ¿cuál es la probabilidad que se haya extraído de la caja B?** Buscamos la probabilidad condicionada $P(B|Co)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|Co) = \frac{P(B \cap Co)}{P(Co)} = \frac{P(B) \cdot P(Co|B)}{P(Co)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: - $P(B) \cdot P(Co|B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$ - $P(Co) = \frac{7}{15}$ Por tanto: $$P(B|Co) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{7}{15}} = \frac{2}{7} \approx 0,2857$$ 💡 **Tip:** Recuerda que Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada cuando conocemos el resultado final del experimento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|Co) = \frac{2}{7} \approx 0,2857}$$

**b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto exactamente dos veces?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de veces que el paracaidista cae en el punto correcto de un total de $n=5$ lanzamientos. Se trata de una **distribución Binomial** $X \sim B(n, p)$ donde: - $n = 5$ (número de ensayos). - $p = 0,25$ (probabilidad de éxito). - $q = 1 - p = 0,75$ (probabilidad de fracaso). La fórmula de la probabilidad binomial para $k$ éxitos es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ Para $k=2$: $$P(X=2) = \binom{5}{2} (0,25)^2 (0,75)^{5-2}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ Sustituimos: $$P(X=2) = 10 \cdot (0,0625) \cdot (0,75)^3$$ $$P(X=2) = 10 \cdot 0,0625 \cdot 0,421875 = 0,263671875$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=2) \approx 0,2637}$$

**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto al menos una vez?** Buscamos $P(X \ge 1)$. En lugar de sumar $P(X=1) + P(X=2) + \dots + P(X=5)$, es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario** (que no caiga ninguna vez correctamente, $X=0$): $$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$$ Calculamos $P(X=0)$: $$P(X=0) = \binom{5}{0} (0,25)^0 (0,75)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0,75)^5$$ $$P(X=0) = 0,2373046875$$ Ahora restamos de la unidad: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,2373046875 = 0,7626953125$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido calcular $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0,7627}$$