Propiedades de determinantes y ecuación de la recta

**a) [1,25 puntos] Sea el determinante $\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$. Calcula razonadamente el valor del siguiente determinante: $\begin{vmatrix} x + a & y + b & z + c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$.** Para resolver este determinante, aplicaremos de forma sucesiva las propiedades de los determinantes. En primer lugar, utilizamos la propiedad que indica que si los elementos de una fila de un determinante son sumas de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes que tienen las demás filas iguales: $$\begin{vmatrix} x + a & y + b & z + c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que esta propiedad solo permite separar una fila a la vez, manteniendo las demás intactas.

A continuación, aplicamos la propiedad que permite extraer un factor común de una fila fuera del determinante. En ambos determinantes resultantes, podemos sacar el factor $2$ de la segunda fila ($F_2$): $$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Analizamos el segundo determinante: tiene dos filas iguales ($F_1 = F_2$). Según las propiedades de los determinantes, si un determinante tiene dos filas iguales o proporcionales, su valor es **cero**. Por tanto: $$2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre busca filas o columnas proporcionales para simplificar cálculos rápidamente.

Sustituimos el valor del determinante original que nos proporciona el enunciado, que es igual a $1$: $$2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 = 2 \cdot (1) = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2}$$

**b) [1,25 puntos] Obtén la ecuación de la recta que es paralela a la recta $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-2}$ y contiene al punto $A(0, 1, 0)$.** Dos rectas son paralelas si y solo si sus vectores directores son iguales o proporcionales. Dada la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-2}$, identificamos su vector director $\vec{v}_r$ a partir de los denominadores de su ecuación en forma continua: $$\vec{v}_r = (1, 1, -2)$$ Como la recta buscada, a la que llamaremos $s$, es paralela a $r$, podemos tomar como su vector director el mismo que el de $r$: $$\vec{v}_s = \vec{v}_r = (1, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, los denominadores son las componentes del vector director.

Ya tenemos el punto $A(0, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, 1, -2)$. Podemos escribir la ecuación de la recta $s$ en forma continua: $$s: \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 0}{-2}$$ Simplificando la expresión: $$s: x = y - 1 = \frac{z}{-2}$$ También podríamos expresarla en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-2}}$$