Límites y Probabilidad: Regla de L'Hôpital y Probabilidad Condicionada

**a) [1 punto] Calcula el siguiente límite: $\displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 2x}$.** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x = -2$ en la expresión para ver si obtenemos un valor directo o una indeterminación: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{(-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2}{(-2)^2 + 2(-2)} = \frac{-8 + 8 - 2 + 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**. 💡 **Tip:** Cuando al calcular un límite de un cociente obtenemos $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital si las funciones son derivables.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado: - Numerador: $f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2 \implies f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$ - Denominador: $g(x) = x^2 + 2x \implies g'(x) = 2x + 2$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 2x} = \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 4x + 1}{2x + 2}$$ Sustituimos $x = -2$: $$\frac{3(-2)^2 + 4(-2) + 1}{2(-2) + 2} = \frac{3(4) - 8 + 1}{-4 + 2} = \frac{12 - 8 + 1}{-2} = \frac{5}{-2} = -2.5$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{-2.5}$$

**b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cartas sin reemplazamiento y que ambas tengan un punto verde?** Primero, definimos los conjuntos basándonos en el enunciado: - Cartas con solo punto verde ($V \cap \bar{R}$): 4 - Cartas con solo punto rojo ($R \cap \bar{V}$): 5 - Cartas con ambos puntos ($V \cap R$): 7 - Total de cartas: 40 Definimos el evento **V** como "tener un punto verde". Según la nota del enunciado, esto incluye las que tienen solo verde y las que tienen ambos: $$n(V) = 4 + 7 = 11 \text{ cartas}$$ Podemos organizar la información en una tabla de contingencia para mayor claridad: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Rojo (R)} & \text{No Rojo (\bar{R})} & \text{Total} \\ \hline \text{Verde (V)} & 7 & 4 & 11 \\ \text{No Verde (\bar{V})} & 5 & 24 & 29 \\ \hline \text{Total} & 12 & 28 & 40 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la suma de las filas y las columnas debe coincidir con el total (40 en este caso).

Queremos calcular la probabilidad de que la primera carta sea verde ($V_1$) y la segunda también sea verde ($V_2$) sin reemplazamiento: $$P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \cdot P(V_2 | V_1)$$ 1. Para la primera carta: Hay 11 cartas verdes de un total de 40. $$P(V_1) = \frac{11}{40}$$ 2. Para la segunda carta (sabiendo que la primera fue verde): Quedan 10 cartas verdes de un total de 39. $$P(V_2 | V_1) = \frac{10}{39}$$ Multiplicamos las probabilidades: $$P(V_1 \cap V_2) = \frac{11}{40} \cdot \frac{10}{39} = \frac{110}{1560} = \frac{11}{156} \approx 0.0705$$ ✅ **Resultado b.1:** $$\boxed{P = \dfrac{11}{156}}$$

**b.2) [0,75 puntos] Si saco una carta y tiene un punto verde, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también un punto rojo?** Nos piden la probabilidad de que la carta sea roja ($R$) dado que sabemos que es verde ($V$). Esto es una **probabilidad condicionada**: $$P(R | V) = \frac{P(R \cap V)}{P(V)}$$ O utilizando el número de casos favorables dentro del nuevo espacio muestral restringido (las 11 cartas verdes): - Casos favorables (Rojo y Verde): $n(R \cap V) = 7$ - Casos posibles (Verde): $n(V) = 11$ $$P(R | V) = \frac{7}{11} \approx 0.6364$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ reduce el universo de estudio únicamente a los casos donde ocurre $B$. ✅ **Resultado b.2:** $$\boxed{P(R | V) = \dfrac{7}{11}}$$