Volumen de revolución y posición relativa de planos

**a) [1 punto] Calcula el volumen de la región generada al girar la función $f(x) = x$ entre los puntos $x = 2$ y $x = 3$ con respecto al eje X.** Para calcular el volumen de un sólido de revolución generado al girar una función $f(x)$ alrededor del eje X en un intervalo $[a, b]$, utilizamos la siguiente fórmula integral: $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$ En este caso, tenemos: - La función: $f(x) = x$ - El intervalo de integración: $[2, 3]$ Sustituyendo en la fórmula: $$V = \pi \int_{2}^{3} (x)^2 \, dx = \pi \int_{2}^{3} x^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el volumen de revolución se basa en la suma de áreas de infinitos discos de radio $f(x)$ y espesor diferencial $dx$.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva de $x^2$, que es $\frac{x^3}{3}$. 2. Evaluamos en los límites superior (3) e inferior (2): $$V = \pi \left( \frac{x^3}{3} \right)_{2}^{3} = \pi \left( \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} \right)$$ Operamos con las potencias: $$V = \pi \left( \frac{27}{3} - \frac{8}{3} \right) = \pi \left( \frac{19}{3} \right)$$ Por tanto, el volumen es: $$\boxed{V = \frac{19\pi}{3} \text{ unidades cúbicas}}$$ 💡 **Tip:** Siempre indica las unidades (u³) en los problemas de volumen si no se especifican cm, m, etc.

**b) [1,5 puntos] Estudia la posición relativa de los siguientes planos: $\pi_1 \equiv x + y = 1; \pi_2 \equiv x + y + z = 2; \pi_3 \equiv z = 0$.** Para estudiar la posición relativa de tres planos, analizamos el sistema formado por sus ecuaciones utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y + z = 2 \\ z = 0 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El rango de $A$ nos dirá la dependencia lineal de los vectores normales, mientras que el rango de $A^*$ nos dirá si los planos tienen puntos en común.

Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna (usaremos la tercera fila por tener ceros): $$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1-1) = 0$$ Como $|A| = 0$, el $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora calculamos el $rg(A^*)$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 0 + 1) - (0 + 2 + 0) = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. No existe ningún punto común a los tres planos a la vez.

Para precisar la posición relativa, estudiamos si hay planos paralelos comparando sus vectores normales: - $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$ - $\vec{n}_2 = (1, 1, 1)$ - $\vec{n}_3 = (0, 0, 1)$ Observamos que ningún vector normal es proporcional a otro (no hay planos paralelos ni coincidentes). Dado que el sistema es incompatible, $rg(A)=2, rg(A^*)=3$ y no hay planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando la superficie de un **prisma triangular** (se cortan en tres rectas paralelas entre sí). Podemos verificarlo viendo que la intersección de $\pi_2$ y $\pi_3$ es la recta: $\begin{cases} x+y+z=2 \\ z=0 \end{cases} \implies x+y=2$ Esta recta es paralela al plano $\pi_1 (x+y=1)$ pero no está contenida en él. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Los planos forman un prisma (se cortan dos a dos en rectas paralelas)}}$$