Integral racional y determinantes de potencias de una matriz

**a) [1 punto] Calcula la siguiente integral: $\int \frac{2x^{2}}{x^{2}+1} dx$.** Nos encontramos ante una integral racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador ($n=2$). Para resolverla, primero debemos realizar la división polinómica o utilizar un ajuste algebraico sumando y restando términos. En este caso, es más sencillo realizar el ajuste en el numerador para forzar la aparición del denominador: $$\frac{2x^2}{x^2+1} = \frac{2x^2 + 2 - 2}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1) - 2}{x^2+1}$$ Ahora separamos la fracción en dos partes: $$\frac{2(x^2+1)}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} = 2 - \frac{2}{x^2+1}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, divide los polinomios para simplificar la integral.

Aplicamos la linealidad de la integral para resolver los términos por separado: $$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int \left( 2 - \frac{2}{x^2+1} \right) dx = \int 2 dx - 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$$ Identificamos las integrales inmediatas: 1. $\int 2 dx = 2x$ 2. $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x)$ Sumando la constante de integración $C$: $$2x - 2\arctan(x) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = 2x - 2\arctan(x) + C}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\arctan(x)$ es $\frac{1}{1+x^2}$, por lo que su integral es inmediata.

**b) [1,5 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. Calcula el determinante de $A$ y de $A \cdot A$. ¿Cuál crees que será el determinante del producto de $n$ veces $A$ (con $n > 2$ y entero)? Justifica y razona tu respuesta.** Primero calculamos el determinante de la matriz $A$ de orden $2 \times 2$: $$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - 2 \cdot 0 = a$$ Para calcular el determinante de $A \cdot A$ (es decir, $A^2$), utilizamos la **propiedad del determinante del producto**, que establece que $\det(M \cdot N) = \det(M) \cdot \det(N)$: $$\det(A \cdot A) = \det(A) \cdot \det(A) = a \cdot a = a^2$$ ✅ **Resultados intermedios:** $$\boxed{\det(A) = a} \quad \text{y} \quad \boxed{\det(A \cdot A) = a^2}$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular la matriz $A^2$ explícitamente; usar las propiedades de los determinantes es mucho más rápido y evita errores de cálculo.

Para calcular el determinante del producto de $n$ veces $A$, denotado como $\det(A^n)$, aplicamos de forma reiterada la propiedad del determinante del producto: $$\det(A^n) = \det(A \cdot A \cdot \dots \cdot A) = \det(A) \cdot \det(A) \cdot \dots \cdot \det(A)$$ Como el determinante se multiplica $n$ veces por sí mismo: $$\det(A^n) = (\det(A))^n$$ Sustituyendo el valor hallado anteriormente $\det(A) = a$: $$\det(A^n) = a^n$$ **Justificación:** La propiedad general indica que el determinante de la potencia de una matriz es igual a la potencia del determinante de dicha matriz: $\det(A^n) = [\det(A)]^n$. Dado que el determinante de $A$ es $a$, la expresión resultante para cualquier $n$ entero positivo es $a^n$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\det(A^n) = a^n}$$ 💡 **Tip:** En matemáticas, esta generalización es un ejemplo clásico de inducción sobre el número de matrices en un producto.