Ecuación del plano y distancia de un punto a un plano

**a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que define el toldo.** El enunciado indica que el toldo (el plano $\pi$) debe ser perpendicular a la barra metálica (la recta $r$). Por tanto, el vector director de la recta, $\vec{d_r}$, será el vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n_1} = (2, -1, 1)$$ $$\vec{n_2} = (1, 0, -1)$$ Calculamos el vector director de la recta mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{d_r} = \vec{i}(-1)(-1) + \vec{j}(1)(1) + \vec{k}(2)(0) - [\vec{k}(-1)(1) + \vec{i}(0)(1) + \vec{j}(2)(-1)]$$ $$\vec{d_r} = \vec{i} + \vec{j} + 0 - [-\vec{k} + 0 - 2\vec{j}] = \vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}$$ Por lo tanto, el vector normal del plano es: $$\vec{n_\pi} = (1, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada como intersección de dos planos se puede obtener siempre mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Un plano queda definido por un punto y un vector normal. Tenemos el punto $A(2, 1, 1)$ y el vector normal $\vec{n_\pi} = (1, 3, 1)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando los componentes del vector normal: $$1x + 3y + 1z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(2, 1, 1)$ en la ecuación: $$1(2) + 3(1) + 1(1) + D = 0$$ $$2 + 3 + 1 + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ Sustituimos $D$ en la ecuación general: ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi \equiv x + 3y + z - 6 = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Si se quiere colocar un foco en el punto de coordenadas $F(2, -2, 1)$. ¿A qué distancia se encuentra del plano que define el toldo?** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el punto es $F(2, -2, 1)$ y el plano es $\pi \equiv x + 3y + z - 6 = 0$. Sustituimos los valores: $$d(F, \pi) = \frac{|1(2) + 3(-2) + 1(1) - 6|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2}}$$ Operamos en el numerador y el denominador: $$d(F, \pi) = \frac{|2 - 6 + 1 - 6|}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \frac{|-9|}{\sqrt{11}} = \frac{9}{\sqrt{11}}$$ Racionalizamos el resultado multiplicando por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$: $$d(F, \pi) = \frac{9\sqrt{11}}{11} \text{ unidades de longitud}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre debe ser un valor positivo, por eso se utiliza el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(F, \pi) = \frac{9\sqrt{11}}{11} \approx 2,71 \text{ u}}$$