Continuidad de una función a trozos y recta tangente

**a) [1,5 puntos] Estudia la continuidad de la función y, en caso de existir, indica y clasifica el tipo de discontinuidades.** Analizamos la continuidad de cada una de las ramas de la función por separado: 1. Para $x \lt 3$, la función es $f(x) = x^2 + 2x + 1$. Al ser un **polinomio**, es continua en todo su intervalo de definición $(-\infty, 3)$. 2. Para $x \ge 3$, la función es $f(x) = \frac{2x}{x - 4}$. Al ser una **función racional**, es continua en su dominio, excepto donde el denominador se anula: $$x - 4 = 0 \implies x = 4.$$ Como el valor $x = 4$ pertenece al intervalo $[3, +\infty)$, debemos estudiar la continuidad específicamente en el punto de salto entre ramas ($x = 3$) y en el punto donde la función racional no está definida ($x = 4$). 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el valor de la función $f(a)$, existen los límites laterales y coinciden: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Para comprobar si la función es continua en $x = 3$, calculamos el valor de la función y los límites laterales: 1. **Valor de la función:** Usamos la segunda rama ya que incluye el signo $\ge$: $$f(3) = \frac{2(3)}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6.$$ 2. **Límite por la izquierda:** Usamos la primera rama ($x \lt 3$): $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 + 2x + 1) = 3^2 + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16.$$ 3. **Límite por la derecha:** Usamos la segunda rama ($x \gt 3$): $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{2x}{x - 4} = \frac{6}{-1} = -6.$$ Como $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$, existe una **discontinuidad de salto finito** en $x = 3$. $$\text{Tamaño del salto} = |16 - (-6)| = 22.$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Discontinuidad de salto finito en } x = 3}$$

Como vimos anteriormente, en $x = 4$ el denominador de la segunda rama se anula. Calculamos los límites laterales en ese punto: $$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{2x}{x - 4} = \frac{8}{0}$$ Analizamos el signo cerca de $4$: - Por la izquierda ($x \to 4^-$): $\lim_{x \to 4^-} \frac{2x}{x - 4} = \frac{8}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha ($x \to 4^+$): $\lim_{x \to 4^+} \frac{2x}{x - 4} = \frac{8}{0^+} = +\infty$ Al ser los límites laterales infinitos, existe una **discontinuidad de salto infinito** (o discontinuidad esencial) en $x = 4$. Esto implica la presencia de una asíntota vertical en $x = 4$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Discontinuidad de salto infinito en } x = 4}$$

Resumiendo el estudio realizado, la función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{3, 4\}$. Las discontinuidades se clasifican como: - En $x = 3$: **Discontinuidad de salto finito**. - En $x = 4$: **Discontinuidad de salto infinito**. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{3, 4\}. \text{ Salto finito en } x=3, \text{ salto infinito en } x=4}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.** Como $x = 2 \lt 3$, trabajamos con la primera rama de la función: $f(x) = x^2 + 2x + 1$. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos la ordenada para $x = 2$: $$y_0 = f(2) = 2^2 + 2(2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9.$$ El punto es $(2, 9)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Es el valor de la derivada en $x = 2$: $$f'(x) = 2x + 2 \implies m = f'(2) = 2(2) + 2 = 6.$$ 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - 9 = 6(x - 2)$$ $$y - 9 = 6x - 12$$ $$y = 6x - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en $x=a$ viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{y = 6x - 3}$$