Sistema de ecuaciones: Venta de helados

**a) [1,25 puntos] Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita determinar el número de helados vendidos de cada tipo.** En primer lugar, definimos las variables que representarán las incógnitas del problema: - $x$: número de helados de una bola vendidos. - $y$: número de helados de dos bolas vendidos. - $z$: número de helados de tres bolas vendidos. Basándonos en la información del enunciado, planteamos las tres ecuaciones: 1. **Total de helados:** El viernes se vendieron 157 helados en total: $$x + y + z = 157$$ 2. **Ingresos totales:** Cada helado de una, dos y tres bolas cuesta 1, 2 y 3 euros respectivamente, sumando 278 euros: $$1x + 2y + 3z = 278$$ 3. **Relación entre tipos:** El número de helados de una bola ($x$) es $k$ veces el de tres bolas ($z$): $$x = k \cdot z \implies x - kz = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, asegúrate de que el número de ecuaciones independientes coincida con el número de incógnitas para poder encontrar una solución. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 157 \\ x + 2y + 3z = 278 \\ x - kz = 0 \end{cases}}$$

**b) [1,25 puntos] Estudia para qué valores del parámetro $k$ el sistema tiene solución única. Para los casos en los que el sistema tiene solución única, ¿es posible que en alguno de ellos se hayan vendido el mismo número de helados de una bola que de tres bolas? Justifica tu respuesta.** Para que un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tenga solución única, el determinante de la matriz de coeficientes ($A$) debe ser distinto de cero (Teorema de Rouché-Frobenius). Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -k \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por la tercera fila: $$\det(A) = |A| = 1 \cdot (2 \cdot (-k) - 0 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot (-k) - 1 \cdot 3) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2)$$ $$\det(A) = -2k - (-k - 3) - 2$$ $$\det(A) = -2k + k + 3 - 2 = -k + 1$$ Para que exista solución única: $$\det(A) \neq 0 \implies -k + 1 \neq 0 \implies k \neq 1$$ Como el enunciado indica que $k \gt 0$, el sistema tiene **solución única** para: $$\boxed{k \in (0, 1) \cup (1, \infty)}$$

Analizamos ahora si es posible que $x = z$ en los casos de solución única ($k \neq 1$). Si $x = z$, sustituimos esta condición en la tercera ecuación del sistema ($x - kz = 0$): $$z - kz = 0 \implies z(1 - k) = 0$$ Esto nos da dos opciones: 1. **Si $z = 0$:** Entonces $x = kz = 0$. Sustituyendo en las dos primeras ecuaciones del sistema: - $0 + y + 0 = 157 \implies y = 157$ - $0 + 2y + 0 = 278 \implies y = 139$ Esto genera una **contradicción** ($157 \neq 139$), por lo que $z$ no puede ser 0. 2. **Si $1 - k = 0$:** Esto implicaría que $k = 1$. Sin embargo, para que el sistema tenga solución única, hemos establecido que **$k$ no puede ser 1**. Si $k=1$, el determinante es 0 y el sistema sería incompatible o compatible indeterminado (en este caso incompatible como se vio con la contradicción), pero nunca tendría solución única. 💡 **Tip:** En un sistema con solución única, si una condición adicional ($x=z$) obliga al parámetro a tomar un valor que invalida la unicidad, dicha condición es imposible de cumplir. **Justificación final:** $$\boxed{\text{No es posible, ya que } x=z \text{ implicaría } k=1, \text{ valor para el cual no hay solución única.}}$$