Distribución Normal: Notas de Opositores

Definimos la variable aleatoria $X$ como la nota obtenida por un opositor. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N\left(4, \frac{100}{51}\right)$$ Calculamos el valor decimal de la desviación típica para facilitar los cálculos: $$\sigma = \frac{100}{51} \approx 1,9608$$ Para trabajar con la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, utilizaremos la tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 4}{100/51}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier variable normal en una estándar $Z$, facilitando el uso de las tablas de probabilidad.

**a) ¿Cuántos opositores ha obtenido una calificación superior a 5? (1 punto)** Primero, calculamos la probabilidad de que un opositor al azar tenga una nota superior a 5, es decir, $P(X \gt 5)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 5) = P\left(Z \gt \frac{5 - 4}{100/51}\right) = P\left(Z \gt \frac{1}{1,9608}\right) = P(Z \gt 0,51)$$ Como las tablas muestran la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0,51) = 1 - P(Z \le 0,51)$$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor $0,51$: $$P(Z \le 0,51) = 0,6950$$ $$P(X \gt 5) = 1 - 0,6950 = 0,3050$$ Para hallar el número de opositores, multiplicamos la probabilidad por el total ($N = 1000$): $$\text{Número de opositores} = 1000 \cdot 0,3050 = 305$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{305 \text{ opositores}}$$

**b) Sabiendo que los opositores con nota superior a 2 y por debajo de 5 formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación. (1 punto)** Debemos calcular la probabilidad $P(2 \lt X \lt 5)$. Tipificamos ambos valores: Para $x = 2$: $z_1 = \frac{2 - 4}{100/51} = \frac{-2}{1,9608} = -1,02$ Para $x = 5$: $z_2 = \frac{5 - 4}{100/51} = \frac{1}{1,9608} = 0,51$ La probabilidad es: $$P(2 \lt X \lt 5) = P(-1,02 \lt Z \lt 0,51) = P(Z \le 0,51) - P(Z \le -1,02)$$ Usamos las propiedades de simetría para el valor negativo: $$P(Z \le -1,02) = P(Z \ge 1,02) = 1 - P(Z \le 1,02)$$ Buscamos en la tabla: - $P(Z \le 0,51) = 0,6950$ - $P(Z \le 1,02) = 0,8461 \implies P(Z \le -1,02) = 1 - 0,8461 = 0,1539$ Sustituimos: $$P(2 \lt X \lt 5) = 0,6950 - 0,1539 = 0,5411$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$\text{Porcentaje} = 0,5411 \cdot 100 = 54,11\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{54,11\%}$$