Probabilidad Binomial y Operaciones con Sucesos

**a) Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de 0,2. Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores. (1 punto)** En este experimento, tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n=3$) y en cada ensayo solo hay dos resultados posibles: que el mensaje tenga error (éxito) o que no lo tenga (fracaso). La probabilidad de éxito es constante. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de mensajes transmitidos con errores de un total de 3. Esta variable sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(3, 0.2)$$ Donde: - $n = 3$ (número de mensajes). - $p = 0.2$ (probabilidad de error). - $q = 1 - p = 0.8$ (probabilidad de no error). 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad binomial es $P(X=k) = \displaystyle\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Nos piden la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes tengan errores, es decir, $P(X \ge 2)$. Esto ocurre si hay exactamente 2 errores o exactamente 3 errores: $$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3)$$ Calculamos cada término individualmente: 1. Para $k=2$: $$P(X=2) = \binom{3}{2} (0.2)^2 (0.8)^{3-2} = 3 \cdot 0.04 \cdot 0.8 = 0.096$$ 2. Para $k=3$: $$P(X=3) = \binom{3}{3} (0.2)^3 (0.8)^{3-3} = 1 \cdot 0.008 \cdot 1 = 0.008$$ Sumamos ambos resultados: $$P(X \ge 2) = 0.096 + 0.008 = 0.104$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.104}$$

**b) Se consideran los sucesos $A$ y $B$, con $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{1}{5}$ y $P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}$. Calcular $P(A \cap B)$ y $P(A/B)$. (1 punto)** Para hallar la probabilidad de la intersección, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2}$$ Para operar, buscamos el común denominador ($m.c.m(2, 3, 5) = 30$): $$P(A \cap B) = \frac{10}{30} + \frac{6}{30} - \frac{15}{30} = \frac{1}{30}$$ 💡 **Tip:** La relación entre la unión y la intersección es fundamental en problemas de axiomas de probabilidad. Siempre que tengas tres de estos cuatro datos ($P(A)$, $P(B)$, unión, intersección), puedes hallar el cuarto. ✅ **Resultado de $P(A \cap B)$:** $$\boxed{P(A \cap B) = \frac{1}{30}}$$

Para calcular $P(A/B)$, utilizamos la definición de **probabilidad condicionada**: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores que ya tenemos: $$P(A/B) = \frac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{1}{5}}$$ Operamos la división de fracciones: $$P(A/B) = \frac{1 \cdot 5}{30 \cdot 1} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A/B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$. Es distinto a $P(B/A)$. ✅ **Resultado de $P(A/B)$:** $$\boxed{P(A/B) = \frac{1}{6}}$$