Área entre las funciones f(x)=x y g(x)=x³

**a) Comprobar que sólo se cortan en $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$ (0,5 puntos)** Para hallar los puntos donde se cortan las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, debemos igualar ambas expresiones y resolver la ecuación resultante: $$f(x) = g(x) \implies x = x^3$$ Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad para obtener una ecuación polinómica: $$x^3 - x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 1) = 0$$ La expresión $x^2 - 1$ es una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar como $(x-1)(x+1)$: $$x(x - 1)(x + 1) = 0$$ Las soluciones de esta ecuación son los valores que anulan cada factor: 1. $x = 0$ 2. $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 3. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ 💡 **Tip:** Para encontrar los puntos de corte de dos funciones $f$ y $g$, siempre resolvemos la ecuación $f(x) - g(x) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1}$$

**b) Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones. (1,5 puntos)** El área total estará comprendida en los intervalos definidos por los puntos de corte hallados en el apartado anterior: $[-1, 0]$ y $[0, 1]$. Debemos determinar qué función queda por encima de la otra en cada intervalo para integrar la diferencia: - **Intervalo $[-1, 0]$:** Tomamos un valor de prueba, por ejemplo $x = -0.5$. $f(-0.5) = -0.5$ $g(-0.5) = (-0.5)^3 = -0.125$ Como $-0.125 > -0.5$, en este intervalo $g(x) \gt f(x)$. - **Intervalo $[0, 1]$:** Tomamos un valor de prueba, por ejemplo $x = 0.5$. $f(0.5) = 0.5$ $g(0.5) = (0.5)^3 = 0.125$ Como $0.5 > 0.125$, en este intervalo $f(x) \gt g(x)$. El área total será la suma de las áreas en ambos recintos: $$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si no quieres comprobar qué función va por encima, puedes usar el valor absoluto: $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$.

Calculamos la primera integral aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0}$$ Evaluamos en los límites de integración: $$A_1 = \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right)$$ $$A_1 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = -\left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$

Calculamos la segunda integral: $$A_2 = \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: $$A_2 = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$A_2 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ Obsérvese que, debido a la simetría impar de ambas funciones, las dos áreas son iguales.

Sumamos ambas áreas parciales para obtener el área total encerrada entre las dos curvas: $$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ u}^2$$ El área total es de $0.5$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 0.5 \text{ u}^2}$$ En el siguiente interactivo se pueden observar las dos regiones sombreadas: