Cálculo de límites por L'Hôpital e integrales por partes

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2)-1}{\text{sen}^2(x)}.$ (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2)-1}{\text{sen}^2(x)} = \frac{\cos(0^2)-1}{\text{sen}^2(0)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}.$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ y existe el límite de las derivadas, entonces $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $f(x) = \cos(x^2) - 1 \implies f'(x) = -\text{sen}(x^2) \cdot 2x = -2x\text{sen}(x^2)$. - Denominador: $g(x) = \text{sen}^2(x) \implies g'(x) = 2\text{sen}(x)\cos(x) = \text{sen}(2x)$. Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2x\text{sen}(x^2)}{\text{sen}(2x)} = \frac{-2(0)\text{sen}(0)}{\text{sen}(0)} = \frac{0}{0}.$$ Como volvemos a obtener una indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital por segunda vez**.

Volvemos a derivar numerador y denominador: - Nuevo numerador: $f''(x) = (-2x\text{sen}(x^2))' = -2\text{sen}(x^2) - 2x\cos(x^2) \cdot 2x = -2\text{sen}(x^2) - 4x^2\cos(x^2)$. - Nuevo denominador: $g''(x) = (\text{sen}(2x))' = 2\cos(2x)$. Calculamos el límite sustituyendo de nuevo: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2\text{sen}(x^2) - 4x^2\cos(x^2)}{2\cos(2x)} = \frac{-2\text{sen}(0) - 4(0)^2\cos(0)}{2\cos(0)} = \frac{0 - 0}{2\cdot 1} = \frac{0}{2} = 0.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2)-1}{\text{sen}^2(x)} = 0}$$

**b) $\int_{0}^{1} x e^x \,dx.$ (1 punto)** Para resolver la integral indefinida $\int x e^x \,dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las funciones $u$ y $dv$ siguiendo la regla ALPES: - Sea $u = x \implies du = dx$. - Sea $dv = e^x dx \implies v = \int e^x dx = e^x$. Aplicamos la fórmula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du \implies \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x.$$ 💡 **Tip:** El método de integración por partes es ideal para productos de funciones polinómicas por exponenciales. Escogemos el polinomio como $u$ para que su grado disminuya al derivar.

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para calcular la integral definida entre 0 y 1: $$\int_{0}^{1} x e^x \,dx = \left[ x e^x - e^x \right]_0^1 = \left[ e^x(x-1) \right]_0^1.$$ Sustituimos los límites de integración: - Límite superior ($x=1$): $e^1(1-1) = e \cdot 0 = 0$. - Límite inferior ($x=0$): $e^0(0-1) = 1 \cdot (-1) = -1$. Calculamos la diferencia: $$0 - (-1) = 1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{0}^{1} x e^x \,dx = 1}$$