Estudio completo y representación de una función exponencial

La función dada es $f(x) = e^{x^2}$. Para determinar el dominio, observamos que es una función exponencial cuya base es el número $e$ y cuyo exponente es una función polinómica $g(x) = x^2$. 1. La función polinómica $x^2$ está definida para todo número real ($x \in \mathbb{R}$). 2. La función exponencial $e^u$ está definida para cualquier valor de $u \in \mathbb{R}$. Por tanto, no existen restricciones de ningún tipo (divisiones por cero, raíces de índice par de números negativos o logaritmos de números no positivos). 💡 **Tip:** El dominio de las funciones exponenciales de la forma $e^{g(x)}$ coincide con el dominio de la función $g(x)$ que está en el exponente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)}$$

Calculamos las intersecciones de la gráfica con los ejes cartesianos: **Corte con el eje $Y$ (ordenada en el origen):** Hacemos $x = 0$: $$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1$$ El punto de corte es **$(0, 1)$**. **Corte con el eje $X$ (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$: $$e^{x^2} = 0$$ Sabemos que la función exponencial $e^u$ es siempre estrictamente positiva para cualquier $u \in \mathbb{R}$ ($e^u \gt 0$). Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. 💡 **Tip:** Las funciones exponenciales puras nunca cortan al eje de abscisas porque nunca toman el valor cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Eje } Y: (0, 1) \quad \text{Eje } X: \text{No tiene}}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x e^{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$2x e^{x^2} = 0$$ Como $e^{x^2} \gt 0$ para todo $x$, la única solución es: $$2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline 2x & - & 0 & + \\ e^{x^2} & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \lt 0$, luego la función es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 0) \quad \text{Creciente: } (0, +\infty)}$$

A partir del análisis de la monotonía en el paso anterior, observamos que en $x = 0$ la función pasa de decrecer a crecer. Por el criterio de la primera derivada, existe un **mínimo relativo** en $x = 0$. Calculamos la coordenada $y$ del punto: $$f(0) = e^{0^2} = 1$$ No existen máximos relativos ya que la derivada solo se anula en un punto y la función crece indefinidamente hacia ambos lados de los infinitos. 💡 **Tip:** También podrías usar el criterio de la segunda derivada. $f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2}$. Como $f''(0) = 2 \gt 0$, se confirma que es un mínimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 1)}$$

Para esbozar la gráfica, tenemos en cuenta: 1. Es una función **par**, ya que $f(-x) = e^{(-x)^2} = e^{x^2} = f(x)$. Es simétrica respecto al eje $Y$. 2. Límites en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} e^{x^2} = e^{+\infty} = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} e^{x^2} = e^{+\infty} = +\infty$$ 3. Pasa por $(0,1)$, que es su valor mínimo. Presentamos a continuación la representación gráfica: