Continuidad y derivabilidad de una función con parámetros

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Por tanto, empezamos imponiendo la condición de continuidad en $x=0$. Una función es continua en $x=c$ si existe el límite cuando $x \to c$ y este coincide con el valor de la función $f(c)$. En nuestro caso, para $x=0$: 1. **Valor de la función:** $$f(0) = a \cdot \text{sen}(0) + b = a \cdot 0 + b = b$$ 2. **Límites laterales:** - Límite por la izquierda ($x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x e^x) = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$$ - Límite por la derecha ($x \ge 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a \cdot \text{sen}(x) + b) = a \cdot 0 + b = b$$ Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales y coincidir con $f(0)$: $$0 = b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones definidas a trozos, la continuidad en el punto de salto requiere que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Condición de continuidad:** $$\boxed{b = 0}$$

Una vez establecida la continuidad con $b=0$, la función queda: $$f(x) = \begin{cases} x e^x & \text{si } x \lt 0 \\ a \cdot \text{sen}(x) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales. Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Para $x \lt 0$, usamos la regla del producto para $x e^x$: $$(x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x$$ - Para $x \gt 0$: $$(a \cdot \text{sen}(x))' = a \cos(x)$$ La función derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} (1 + x)e^x & \text{si } x \lt 0 \\ a \cos(x) & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En la primera rama, $u=x$ y $v=e^x$. Calculamos los límites de la derivada en $x=0$: - Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x)e^x = (1 + 0)e^0 = 1$$ - Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (a \cos(x)) = a \cos(0) = a \cdot 1 = a$$ Para que $f(x)$ sea derivable en $x=0$, se debe cumplir que $f'(0^-) = f'(0^+)$: $$\boxed{a = 1}$$

Para que la función sea continua y derivable en $x=0$, los valores de los parámetros deben ser: $$\boxed{a = 1, \quad b = 0}$$ A continuación, se muestra la representación gráfica de la función con los valores hallados, donde se observa la transición suave (sin picos) en el origen.