Paralelismo entre rectas y plano que las contiene

**a) Encontrar el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que las rectas $r$ y $s$ sean paralelas.** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: Planos: $\pi_1 \equiv x + y - 5z = -3$ y $\pi_2 \equiv -2x + 0y + z = 1$. Sus vectores normales son $\vec{n}_1 = (1, 1, -5)$ y $\vec{n}_2 = (-2, 0, 1)$. Calculamos el producto vectorial mediante un determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -5 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \mathbf{i} - \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \mathbf{j} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (1 - 0)\mathbf{i} - (1 - 10)\mathbf{j} + (0 - (-2))\mathbf{k} = (1, 9, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

La recta $s$ está en forma continua: $x + 1 = \frac{y - 3}{a} = \frac{z}{2}$. Podemos identificar su vector director $\vec{v}_s$ a partir de los denominadores: $$\frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - 3}{a} = \frac{z - 0}{2} \implies \vec{v}_s = (1, a, 2)$$ Para que $r$ y $s$ sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales: $$\vec{v}_r = k \cdot \vec{v}_s \implies (1, 9, 2) = k \cdot (1, a, 2)$$ Igualamos las componentes: 1. $1 = k \cdot 1 \implies k = 1$ 2. $2 = k \cdot 2 \implies 2 = 1 \cdot 2$ (Se cumple) 3. $9 = k \cdot a \implies 9 = 1 \cdot a \implies a = 9$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 9}$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores tienen la misma dirección (son dependientes) y no tienen puntos en común (o todos, si fueran coincidentes).

**b) Si $a = 9$, calcular la ecuación del plano que las contiene.** Para $a = 9$, las rectas son paralelas con vector director $\vec{u}_1 = (1, 9, 2)$. Para definir el plano $\pi$ que las contiene, necesitamos un punto de una de ellas y un segundo vector director formado por un punto de cada recta. 1. **Punto de $s$ ($P_s$):** De la ecuación continua extraemos $P_s = (-1, 3, 0)$. 2. **Punto de $r$ ($P_r$):** Damos un valor a una variable en las ecuaciones de $r$. Si $z = 1$: - De $-2x + z = 1 \implies -2x + 1 = 1 \implies x = 0$. - De $x + y - 5z = -3 \implies 0 + y - 5(1) = -3 \implies y = 2$. - Así, $P_r = (0, 2, 1)$. 3. **Segundo vector director ($\vec{u}_2$):** $$\vec{u}_2 = \vec{P_s P_r} = P_r - P_s = (0 - (-1), 2 - 3, 1 - 0) = (1, -1, 1)$$

La ecuación del plano que pasa por $P_r(0, 2, 1)$ con vectores directores $\vec{u}_1 = (1, 9, 2)$ y $\vec{u}_2 = (1, -1, 1)$ se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 2 & z - 1 \\ 1 & 9 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x)(9 \cdot 1) + (y - 2)(2 \cdot 1) + (z - 1)(1 \cdot (-1)) - [ (z - 1)(9 \cdot 1) + (x)(2 \cdot (-1)) + (y - 2)(1 \cdot 1) ] = 0$$ $$9x + 2y - 4 - z + 1 - [ 9z - 9 - 2x + y - 2 ] = 0$$ $$9x + 2y - z - 3 - 9z + 9 + 2x - y + 2 = 0$$ Agrupamos términos: $$11x + y - 10z + 8 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{11x + y - 10z + 8 = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un plano queda unívocamente determinado por un punto y dos vectores no colineales contenidos en él.