Posiciones relativas y ecuaciones de planos con rectas

**a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a $\pi$, que contenga a $r$. (1 punto)** Primero, extraemos los vectores directores y puntos de los elementos dados: - Del plano $\pi \equiv 2x + y - 3 = 0$, su vector normal es $\vec{n_\pi} = (2, 1, 0)$. - De la recta $r$ en paramétricas, obtenemos un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v_r}$: - Punto: $P_r(0, 1, 1)$ - Vector: $\vec{v_r} = (1, -2, 0)$ Para que un plano $\pi'$ sea perpendicular a $\pi$, su vector normal $\vec{n_{\pi'}}$ debe ser perpendicular a $\vec{n_\pi}$. Esto implica que el vector $\vec{n_\pi}$ puede actuar como un vector director del plano $\pi'$. Como además el plano debe contener a la recta $r$, tendrá como segundo vector director a $\vec{v_r}$ y pasará por el punto $P_r$. 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no proporcionales. Si contiene a una recta, usa el punto y el vector de la recta; si es perpendicular a otro plano, usa el vector normal de dicho plano como dirección.

Utilizamos el determinante con el punto $P_r(0, 1, 1)$ y los vectores $\vec{v_r}(1, -2, 0)$ y $\vec{n_\pi}(2, 1, 0)$: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$(z - 1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(z - 1) \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2) = 0$$ $$(z - 1) \cdot (1 + 4) = 0$$ $$5(z - 1) = 0 \implies z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Plano perpendicular):** $$\boxed{\pi' \equiv z = 1}$$

**b) ¿Existe algún plano paralelo a $\pi$ que contenga a $r$? En caso afirmativo calcularlo. (1 punto)** Para que exista un plano paralelo a $\pi$ que contenga a $r$, la recta $r$ debe ser paralela al plano $\pi$ (o estar contenida en él). Esto ocurre si el vector director de la recta $\vec{v_r}$ es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Comprobamos el producto escalar: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, -2, 0) \cdot (2, 1, 0) = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, la recta $r$ es paralela o está contenida en el plano $\pi$. Por lo tanto, **sí existe** un plano paralelo a $\pi$ (o el mismo $\pi$) que contiene a $r$. 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, existe una familia de planos paralelos al original, y uno de ellos pasará exactamente por la recta.

Cualquier plano paralelo a $\pi \equiv 2x + y - 3 = 0$ tiene la forma: $$\pi_{par} \equiv 2x + y + D = 0$$ Para que contenga a $r$, debe pasar por el punto $P_r(0, 1, 1)$: $$2(0) + 1 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, el plano buscado es $2x + y - 1 = 0$. Podemos comprobar si es el propio plano $\pi$ sustituyendo $P_r$ en $\pi$: $2(0)+1 = 1 \neq 3$. Como no lo contiene, el plano hallado es un plano paralelo distinto. ✅ **Resultado (Plano paralelo):** $$\boxed{\pi_{par} \equiv 2x + y - 1 = 0}$$