Producto de matrices, invertibilidad e inversa con parámetros

**a) Calcular $AB$. (0,5 puntos)** Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ($A$ es $2 \times 3$) debe coincidir con el número de filas de la segunda ($B$ es $3 \times 2$). El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. Calculamos cada elemento fila por columna: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$$ - $c_{11} = (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot (-1)) = 0 + 1 - 2 = -1$ - $c_{12} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) + (2 \cdot a) = 1 + 0 + 2a = 1 + 2a$ - $c_{21} = (0 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (a \cdot (-1)) = 0 + 1 - a = 1 - a$ - $c_{22} = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0) + (a \cdot a) = 0 + 0 + a^2 = a^2$ 💡 **Tip:** Recuerda que el elemento $c_{ij}$ se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los de la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado del producto:** $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} -1 & 1 + 2a \\ 1 - a & a^2 \end{pmatrix}}$$

**b) Estudiar para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa, calculándola cuando $a = 1$. (1,5 puntos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|AB| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz resultante del apartado anterior: $$|AB| = \begin{vmatrix} -1 & 1 + 2a \\ 1 - a & a^2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla para determinantes de orden 2 (producto de la diagonal principal menos producto de la secundaria): $$|AB| = (-1) \cdot (a^2) - (1 + 2a) \cdot (1 - a)$$ $$|AB| = -a^2 - (1 - a + 2a - 2a^2)$$ $$|AB| = -a^2 - (1 + a - 2a^2)$$ $$|AB| = -a^2 - 1 - a + 2a^2 = a^2 - a - 1$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al expandir el producto de binomios precedido por un signo menos. $$\boxed{|AB| = a^2 - a - 1}$$

Para hallar los valores que hacen que el determinante sea cero, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a^2 - a - 1 = 0$$ $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Por lo tanto: - Si **$a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$** o **$a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$**, el determinante es cero y **no existe inversa**. - Si **$a \neq \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$**, el determinante es no nulo y **la matriz $AB$ tiene inversa**. ✅ **Resultado del estudio:** $$\boxed{\text{Tiene inversa para } a \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right\}}$$

Si $a = 1$, primero calculamos el valor de la matriz $AB$ y su determinante: $$AB = \begin{pmatrix} -1 & 1 + 2(1) \\ 1 - 1 & (1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$|AB| = (1)^2 - (1) - 1 = -1$$ Usamos la fórmula de la matriz inversa: $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \cdot [Adj(AB)]^t$ 1. Matriz de adjuntos $Adj(AB)$: - $Adj_{11} = +|1| = 1$ - $Adj_{12} = -|0| = 0$ - $Adj_{21} = -|3| = -3$ - $Adj_{22} = +|-1| = -1$ $$Adj(AB) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta traspuesta: $$[Adj(AB)]^t = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa final: $$(AB)^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En este caso particular, la matriz es su propia inversa ($M = M^{-1}$), lo que significa que es una matriz involutiva. ✅ **Resultado de la inversa:** $$\boxed{(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$