Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudiar el sistema en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$. (1,2 puntos)** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ m & 5 & -4 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \\ m & 5 & -4 & -1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ m & 5 & -4 \end{vmatrix} = [3(-1)(-4) + 2(2)(m) + (-1)(1)(5)] - [(-1)(-1)(m) + 2(1)(-4) + 3(2)(5)]$$ $$|A| = [12 + 4m - 5] - [m - 8 + 30]$$ $$|A| = (4m + 7) - (m + 22) = 3m - 15$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$3m - 15 = 0 \implies 3m = 15 \implies m = 5$$ 💡 **Tip:** El estudio de los rangos mediante el determinante de la matriz principal es el primer paso fundamental para aplicar el Teorema de Rouché-Capelli.

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 5$** Si $m \neq 5$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (igual al número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, con una solución única. **Caso 2: $m = 5$** Si $m = 5$, entonces $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 5 & 5 & -1 \end{vmatrix} = [3(-1)(-1) + 2(3)(5) + 1(1)(5)] - [1(-1)(5) + 2(1)(-1) + 3(3)(5)]$$ $$= [3 + 30 + 5] - [-5 - 2 + 45] = 38 - 38 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 5: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } m = 5: \text{ Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (0,8 puntos)** El sistema es compatible indeterminado cuando $m = 5$. Como el $\text{rg}(A) = 2$, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, ya que es combinación lineal de las otras) y expresar el sistema en función de dos ecuaciones y un parámetro. Tomamos las dos primeras ecuaciones y hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} 3x + 2y - \lambda = 1 \\ x - y + 2\lambda = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x + 2y = 1 + \lambda \\ x - y = 3 - 2\lambda \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución despejando $x$ de la segunda ecuación: $$x = 3 - 2\lambda + y$$ Sustituimos en la primera: $$3(3 - 2\lambda + y) + 2y = 1 + \lambda$$ $$9 - 6\lambda + 3y + 2y = 1 + \lambda$$ $$5y = -8 + 7\lambda \implies y = -\frac{8}{5} + \frac{7}{5}\lambda$$ Calculamos ahora $x$: $$x = 3 - 2\lambda + \left(-\frac{8}{5} + \frac{7}{5}\lambda\right) = \frac{15 - 10\lambda - 8 + 7\lambda}{5} = \frac{7 - 3\lambda}{5}$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - \text{rg}(A)$, en este caso $3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{\begin{cases} x = \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5}\lambda \\ y = -\dfrac{8}{5} + \dfrac{7}{5}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$