Incidencia de la miopía según el sexo

Para resolver problemas de probabilidad donde se cruzan dos variables (en este caso, sexo y padecimiento de miopía), lo más didáctico es organizar la información en una **tabla de contingencia**. Calculamos primero el total de sujetos estudiados: $$\text{Total} = 550 \text{ (mujeres)} + 420 \text{ (hombres)} = 970$$ A partir de los datos del enunciado, completamos la tabla (calculando los no miopes por diferencia): $$\begin{array}{c|cc|c} & M \text{ (Miope)} & \bar{M} \text{ (No Miope)} & \text{Total} \\ \hline A \text{ (Mujer)} & 280 & 270 & 550 \\ B \text{ (Hombre)} & 190 & 230 & 420 \\ \hline \text{Total} & 470 & 500 & 970 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la suma de las filas y las columnas siempre debe coincidir con el total general.

**a) Calcular $P(A); P(M/A); P(B \cap M)$. (0,5 puntos)** Utilizamos la **Regla de Laplace** ($P = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$) y la definición de probabilidad condicionada: 1. **Probabilidad de ser mujer ($P(A)$):** $$P(A) = \frac{\text{Total mujeres}}{\text{Total sujetos}} = \frac{550}{970} = \frac{55}{97} \approx 0,567$$ 2. **Probabilidad de ser miope sabiendo que es mujer ($P(M/A)$):** Es una probabilidad condicionada. Miramos solo la fila de mujeres: $$P(M/A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)} = \frac{280}{550} = \frac{28}{55} \approx 0,509$$ 3. **Probabilidad de ser hombre y miope ($P(B \cap M)$):** Es la probabilidad de la intersección (hombres que además son miopes) respecto al total: $$P(B \cap M) = \frac{\text{Hombres miopes}}{\text{Total sujetos}} = \frac{190}{970} = \frac{19}{97} \approx 0,196$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P(A) = \frac{55}{97}; \quad P(M/A) = \frac{28}{55}; \quad P(B \cap M) = \frac{19}{97}}$$

**b) Si se elige al azar un sujeto, calcular la probabilidad de que sea miope. (0,5 puntos)** Para calcular la probabilidad de que un sujeto sea miope ($P(M)$), sumamos todos los casos de personas miopes (tanto hombres como mujeres) y dividimos entre el total de la muestra. $$P(M) = \frac{\text{Total miopes}}{\text{Total sujetos}} = \frac{470}{970} = \frac{47}{97} \approx 0,4845$$ 💡 **Tip:** Esto equivale a aplicar el Teorema de la Probabilidad Total: $P(M) = P(A) \cdot P(M/A) + P(B) \cdot P(M/B)$. Con la tabla, el cálculo es directo. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{P(M) = \frac{47}{97} \approx 0,4845}$$

**c) Si se elige al azar un sujeto que resulta ser miope, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1 punto)** Se nos pide la probabilidad de ser mujer condicionada a que ya sabemos que el sujeto es miope, es decir, $P(A/M)$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada (o Teorema de Bayes): $$P(A/M) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)}$$ De los pasos anteriores y la tabla sabemos que: - $P(A \cap M) = \frac{280}{970}$ - $P(M) = \frac{470}{970}$ Sustituimos: $$P(A/M) = \frac{\frac{280}{970}}{\frac{470}{970}} = \frac{280}{470} = \frac{28}{47} \approx 0,5957$$ 💡 **Tip:** Observa que al condicionar por "ser miope", nuestro nuevo espacio muestral (denominador) pasa a ser únicamente el grupo de los 470 miopes. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{P(A/M) = \frac{28}{47} \approx 0,5957}$$